【和差算】和と差の関係を線分図で表そう!3つの数でも簡単に解ける

みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記 特殊算

中学受験算数で特殊算の入門といえば「和差算」です。多くの受験生が3年か4年で和差算に出会うでしょう。

今回は、中学受験算数の万能ツール「線分図」を使って和差算を解説します。

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2つの数の和差算を考えよう

【例題1】大小2つの数があります。その和は12、その差は6です。2つの数は、それぞれいくつですか。

2つの数の和差算には次の公式があります。

(和+差)÷2=大きい数

(和-差)÷2=小さい数

この公式を覚えるだけでなく、「どうしてこうなるの?」をきちんと理解することが大切です。そうでないと、数が3つ、4つ……と増えたとき、手も足も出なくなります。

線分図を使って公式が正しいことを確かめよう

今回は、公式が正しいことを確認するため、中学受験の万能ツール「線分図」を使います。2つ以上の数の大小関係を理解するのに役立つのが線分図だからです。

実際に例題1を線分図で表すと、次の通りです。

【和差算】和と差の関係を線分図で表そう!3つの数でも簡単に解ける

2つの数の和と差がそれぞれどこになるのかを理解しましょう。その上で、「和+差」と「和-差」を表すと、次のようになります。

【和差算】和と差の関係を線分図で表そう!3つの数でも簡単に解ける

「和+差」は、小さい数を差の分だけ伸ばしたことになるので、「大きい数×2」になります。したがって、「(和+差)÷2=大きい数」が正しいとわかります。

一方、「和-差」は、大きい数を差の分だけ縮めたことになるので、「小さい数×2」になります。したがって、「(和+差)÷2=大きい数」も正しいとわかります。

公式が正しいことが確かめられたので、それぞれに数字を当てはめて例題1を計算しましょう。大きい数は(12+6)÷2=9で、小さい数は(12-6)÷2=3です。

線分図を見ながら□を含む式を作ろう

線分図を正しく描ければ、無理に公式を使わなくても問題を解くことができます。線分図のどこかの長さを□にし、□を含むイコール(=)の式を作って、逆算で□を求められるからです。

たとえば、小さい数を□にするなら、次のように線分図を描きます。

【和差算】和と差の関係を線分図で表そう!3つの数でも簡単に解ける

線分図に□が2つあるので□×2です。これに差の6を足せば和の12なので、□×2+6=12です。したがって、小さい数は□=(12-6)÷2=3で、大きい数は3+6=9です。

公式を使わなくても簡単に解けました。

形太
形太

大きい数を□にしちゃダメなんですか?

みみずく
みみずく

もちろんダメってことはないよ。大きい数を□にすると、小さい数は□を使ってどう表す?

形太
形太

小さい数は大きい数より6だけ小さいから□-6です。

みみずく
みみずく

その通り。だから、イコールの式は□+(□-6)=12になって、□=9を求められるんだ。

数美
数美

小さい数と大きい数のどっちを□にしたか、忘れないようにしないといけませんね!

コメント

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