【数列】和の記号Σ（シグマ）の意味を理解して公式丸暗記をやめよう

高校の数学Bでは「数列」を扱います。

数列分野は、最初のうちは簡単です。等差数列や等比数列までは中学数学の延長みたいな内容です。中学受験を経験した生徒なら、「等差数列なら知ってます！」と懐かしく思うかもしれません。

しかし、和の記号Σ（シグマ）が登場するあたりから雲行きが怪しくなってきます。この「Σ」なる記号は、実は赤点量産装置なんですね(笑)。

「Σの公式を覚えてるから大丈夫！」と高をくくっていると、公式を適用できない問題が登場して……定期テストの答案が真っ赤に!!

そんな悲劇を味わいたくない生徒は、Σの定義をしっかり確認して、公式丸暗記から脱却しましょう。

和の記号Σの定義

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{10} k \)は「kが 1, 2, 3, …,10 と変わるときのkの値をすべて加えた和」という意味です。分かりにくいので図にすると次の通りです。

つまり、Σを使ったこの表現は、「1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10」と全く同じ意味なのです！

たとえば虚部を表すiや対数logは特別な数を表現します。一方、Σは、iやlogとは違って、長くなりがちな和の式を簡単に表記するための記号なのです。

ということは、「Σが分からない！」と思ったら、Σを使わない足し算の式に書き換えてみるといいわけですよ。

Σの公式を適用できない？

Σの定義を確認したところで、Σの公式にも軽く触れてみます。次の公式は有名ですね。

この公式を使ってサクサク問題を解こうと思っていると、突然悲劇が訪れます！

次の問題を考えましょう。

「公式が使えるじゃん！」と冒頭の公式の右側を解答欄に書いたら×ですよ。この問題は、kが100から始まっているので公式にそのまま当てはめられません。

こういうときは、Σの定義に戻って、足し算の式に書き換えてみます。

これは次のように変形できます。

1からnまでの総和から、1から99までの総和を引いています。

「1＋2＋3＋･･･＋98＋99＋100＋101＋102＋…＋（n－1）」と「1＋2＋3＋･･･＋98＋99」をそれぞれΣで書き直すと次の通りです。

ここまで変形すれば、冒頭の公式に当てはめて計算できます。

k=0から始まる場合は？

間違いの多い変形をもう少し考えます。次の計算をしてみましょう。

よくある誤答例は次の通りです。

どこが間違っているのでしょうか？

誤答例では、次の公式を適用したと考えられます。

しかし、【問題2】の式はkが1から始まっていない以上、公式にそのまま当てはめられません。誤答例は、【問題1】と同じ過ちを犯しています。

kの2乗の和

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \)の左辺は、「kの2乗で表される式にk＝1,2,3,…,nを代入していき、それらを全て足し合わせる」という意味です。これをΣを使わずに書けば、次のようになります。

同じように、k=0で始まる場合もΣを使わずに書いてみます。0の2乗は0なので無視すると、k=0で始まる式は、k=1で始まる式と同じであることがわかります。

したがって、誤答例の\(\frac{1}{6}\)の項は正しかったわけです。とはいえ、これは、たまたま正しかっただけです。

1の和

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 1 = n \)の左辺は、「1番目からn番目まで1で表される数列をすべて足し合わせる」という意味です。つまり、1が全部でn個あるので、その総和がnなのです。

この公式のk＝1がk＝0に変わったらどうでしょうか？

k＝1で始まる公式に0番目の1が加わるので、上のように書き換えました。この結果から、k＝0で始まる式は、k＝1で始まる式と同じにならないことがわかります。

以上より、誤答例を正しく直すと次の通りです。

和の記号Σに振り回されるな！

数列分野では、和の記号Σという記号に振り回されず、きちんと意味を考えることが大切です。そうしないと、恐怖の赤点地獄に堕ちてしまいますよ！（笑）

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