【三角形】面積比と底辺比の関係は?等しい高さに注目して問題を解く

【平行線と角度】対頂角・同位角・錯角の大きさに注目して問題を解く 平面図形

三角形の面積比を考える場合、相似比を使えないなら、底辺比を使うのが定番です。

今回は、底辺比を使って面積比を考える問題をわかりやすく解説します。

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高さが等しい三角形に注目しよう

複雑な問題にチャレンジする前に、次のことをしっかり理解しましょう。

高さが等しい2つの三角形の面積比は底辺比に等しい。

たとえば、下の三角形を考えます。

【三角形】面積比と底辺比の関係は?等しい高さに注目して問題を解く

アとイの面積比を考えるとき、1本の補助線を引くのがコツです。

大きな三角形の頂点のうち、ア・イ両方の三角形の頂点が集まっている頂点から、向かい合う辺に垂直となる線を引きました。

【三角形】面積比と底辺比の関係は?等しい高さに注目して問題を解く

この補助線は、ア・イ両方の三角形の高さです。このことから、アとイは、高さが等しい三角形だとわかります。

アの面積は3×補助線の長さ×\(\frac{1}{2}\)、イの面積は4×補助線の長さ×\(\frac{1}{2}\)なので、面積比はア:イ=3×補助線の長さ×\(\frac{1}{2}\):4×補助線の長さ×\(\frac{1}{2}\)=3:4です。

したがって、高さの等しい三角形アとイの面積比は底辺比に等しいことがわかりました。

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