【計算の工夫】部分分数分解で掛け算を引き算にするキセル算が楽しい

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中学受験算数の計算問題では、まともに通分するととても大変な分数の足し算が出ることがあります。このような問題の解き方をわかりやすく解説します。

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部分分数分解を利用しよう

【例題1】次の計算をしなさい。

\(\frac{1}{6}\)+\(\frac{1}{12}\)+\(\frac{1}{20}\)+\(\frac{1}{30}\)

【例題1】は、分母の最小公倍数が60だとすぐにわかれば、通分して計算してもそれほど大変ではありません。実際に通分して計算してみましょう。

\(\frac{10}{60}\)+\(\frac{5}{60}\)+\(\frac{3}{60}\)+\(\frac{2}{60}\)=\(\frac{20}{60}\)=\(\underline{\frac{1}{3}}\)

もちろん、これで正解です。しかし、ただ通分するだけではおもしろくないので、計算の工夫をしてみましょう。

それぞれの分母をかけ算で表します。

\(\frac{1}{2×3}\)+\(\frac{1}{3×4}\)+\(\frac{1}{4×5}\)+\(\frac{1}{5×6}\)

規則性があることに気づきましたか?

規則性とは、2, 3, 4, 5, 6という順番で分母に数字が並んでいることです。このタイプの分数の足し算は、次のように式を書きかえられます。

\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\)+\(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\)+\(\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)\)+\(\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)\)

この式では、\(\frac{1}{3}\)~\(\frac{1}{5}\)が+と-で0になって消えます。残った分数だけを計算しましょう。

\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{6}\)=\(\frac{3}{6}\)-\(\frac{1}{6}\)=\(\frac{2}{6}\)=\(\underline{\frac{1}{3}}\)

結局は通分しますが、分母を60にそろえるより楽です。

以上のように、分数のかけ算を分数の足し算に書きかえることを「部分分数分解」といいます。

\(\frac{1}{2×3}\), \(\frac{1}{15×16}\), \(\frac{1}{99×100}\)のように、分母が連続する整数のかけ算になっている分数の部分分数分解は次の通りです。

AとBが連続する整数でA<Bのとき、\(\frac{1}{A×B}\)=\(\frac{1}{A}\)-\(\frac{1}{B}\)

たとえば、\(\frac{1}{2×3}\)=\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{3}\)、\(\frac{1}{15×16}\)=\(\frac{1}{15}\)-\(\frac{1}{16}\)、\(\frac{1}{99×100}\)=\(\frac{1}{99}\)-\(\frac{1}{100}\)です。

部分分数分解を利用すれば、次のように複雑な分数の足し算も簡単になります。

\(\frac{1}{1×2}\)+\(\frac{1}{2×3}\)+\(\frac{1}{3×4}\)+…+\(\frac{1}{98×99}\)+\(\frac{1}{99×100}\)

=\(\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)\)+\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\)+\(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\)+…+\(\left(\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\right)\)+\(\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)

=1-\(\frac{1}{100}\)

=\(\underline{\frac{99}{100}}\)

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