【場合の数】じゃんけんの手の出し方は何通り?勝敗やあいこを考える

【場合の数】じゃんけんの手の出し方は何通り?勝敗やあいこを考える 場合の数

じゃんけんは、グー・チョキ・パーを手の形で表し、どの形を出したかで勝敗を決める遊びです。

日常生活でおなじみのじゃんけんは、中学受験算数では場合の数の問題として出題されます。

3人でじゃんけんをする問題を考えよう

【例題1】A、B、Cの3人でじゃんけんを1回します。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1) Aだけが勝つ手の出し方は何通りですか。

(2) Aが勝つ手の出し方は何通りですか。

(3) 1人が勝つ手の出し方は何通りですか。

(4) あいこになる手の出し方は何通りですか。

(1)と(2)の違いがわかりますか?

(1)はAだけが勝って、BとCは負けます。一方、(2)は、(1)の結果だけでは足りません。なぜなら、BかCのどちらかも勝つ場合があるからです。ちなみに、3人でじゃんけんをするので、A、B、Cの3人が勝つことはありません。

(1)と(2)の違いを理解した上で、問題を解いていきましょう。

(1)の解答(Aだけが勝つ)

Aの手の出し方はグー・チョキ・パーの3通りです。

Aだけが勝つ場合、AとBCの手の出し方(A、BC)は(グー、チョキ)(チョキ、パー)(パー、グー)の3通りです。

(2)の解答(Aが勝つ)

Aだけでなく、Bも勝つ場合を考えます。

ABとCの手の出し方(AB、C)は(グー、チョキ)(チョキ、パー)(パー、グー)の3通りです。

Bが負けてCが勝つ場合も考えると、AだけでなくBかCも勝つ手の出し方は3×2=6(通り)です。

(1)の答と合わせて、Aが勝つ手の出し方は3+6=9(通り)です。

エノキさん
エノキさん

勝者と敗者の手の出し方(勝者、敗者)は、いつでも(グー、チョキ)(チョキ、パー)(パー、グー)の3通りしかないのね!

(3)の解答(1人が勝つ)

(1)ではAだけが勝ちます。しかし、1人が勝つ場合、勝者はAではなくBやCかもしれません。

勝者と敗者の手の出し方は(1)と同じで、勝者はA、B、Cの3通りあるので、1人が勝つ手の出し方は3×3=9(通り)です。

(4)の解答(あいこになる)

あいこになる手の出し方は、3人全員の手が同じ場合とグー・チョキ・パーのすべての手が出る場合があります。

① 3人全員の手が同じ場合、グー・チョキ・パーの3通りです。

② グー・チョキ・パーのすべての手が出る場合、Aの手の出し方は3通り、Bの手の出し方はAの手以外の2通り、Cの手の出し方はA、Bの手以外の1通りです。したがって、3×2×1=6(通り)です。

①②より、あいこになる手の出し方は3+6=9(通り)です。

シイタケくん
シイタケくん

①と②は同時に起こらないので、和の法則を使うよ。3×6=18にしないでね。

(4)を余事象で解いてみよう

(4)は、「勝負が決まる手の出し方」の余事象です。

したがって、「あいこになる手の出し方」=「すべての手の出し方」-「勝負が決まる手の出し方」でも求められます。

すべての手の出し方は、A、B、Cの3人がそれぞれグー・チョキ・パーの3通りの手を出せるので3×3×3=27(通り)です。

勝負が決まる手の出し方には、1人が勝つ手の出し方と2人が勝つ手の出し方があります。

2人が勝つ手の出し方は、1人が勝つ手の出し方で勝者と敗者が入れ替わるだけなので、(3)の結果から9通りです。

「勝負が決まる手の出し方」=「1人が勝つ手の出し方((3)の答)」+「2人が勝つ手の出し方」なので、9+9=18(通り)です。

したがって、あいこになる手の出し方は27-18=9(通り)です。

エリンギ先生
エリンギ先生

3人でじゃんけんをする問題では、あいこになる手の出し方を直接求めても、余事象を考えても、どちらでもそれほど難しくない。でも、人数が4人、5人、……と増えたとき、余事象の考え方がとても役に立つよ。

4人でじゃんけんをする問題を考えよう

【例題2】A、B、C、Dの4人でじゃんけんを1回します。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1) 1人が勝つ手の出し方は何通りですか。

(2) 2人が勝つ手の出し方は何通りですか。

(3) あいこになる手の出し方は何通りですか。

勝者と敗者の手の出し方(勝者、敗者)は(グー、チョキ)(チョキ、パー)(パー、グー)の3通りです。

(1)の解答(1人が勝つ)

A、B、C、Dの4人から勝者を1人だけ選ぶ選び方は4通りです。

したがって、1人が勝つ手の出し方は3×4=12(通り)です。

(2)の解答(2人が勝つ)

A、B、C、Dの4人から勝者を2人だけ選ぶ選び方は、AB、AC、AD、BC、BD、CDの6通りです。

したがって、2人が勝つ手の出し方は3×6=18(通り)です。

(3)の解答(あいこになる)

あいこになる手の出し方は、4人全員の手が同じ場合とグー・チョキ・パーのすべての手が出る場合があります。

① 4人全員の手が同じ場合、グー・チョキ・パーの3通りです。

② グー・チョキ・パーのすべての手が出る場合、たとえばAとBが同じ手を出すとします。このとき、ABの手の出し方は3通り、Cの手の出し方はABの手以外の2通り、Dの手の出し方はAB、Cの手以外の1通りです。したがって、3×2×1=6(通り)です。

同じ手を出す2人の選び方は、AB、AC、AD、BC、BD、CDの6通りなので、6×6=36(通り)です。

①②より、あいこになる手の出し方は3+36=39(通り)です。

(3)を余事象で解いてみよう

余事象を利用して、「あいこになる手の出し方」=「すべての手の出し方」-「勝負が決まる手の出し方」でも求められます。

すべての手の出し方は、A、B、C、Dの4人がそれぞれグー・チョキ・パーの3通りの手を出せるので3×3×3×3=81(通り)です。

勝負が決まる手の出し方には、1人が勝つ手の出し方と2人が勝つ手の出し方と3人が勝つ手の出し方があります。

3人が勝つ手の出し方は、1人が勝つ手の出し方で勝者と敗者が入れ替わるだけなので、(1)の結果から12通りです。

「勝負が決まる手の出し方」=「1人が勝つ手の出し方((1)の答)」+「2人が勝つ手の出し方((2)の答)」+「3人が勝つ手の出し方」なので、12+18+12=42(通り)。

したがって、あいこになる手の出し方は81-42=39(通り)です。

シイタケくん
シイタケくん

n人がじゃんけんをしてk人が勝つ手の出し方は、(n人からk人を選ぶ組合せ)×(勝者と敗者の手の出し方)なので、nCk×3通りと表せるよ。

じゃんけん問題はサッと解いて確実に正解しよう

じゃんけん問題は、何人でじゃんけんをする場合でも、やるべきことは同じです。

まずは3人でじゃんけんをする問題をきちんと理解して、4人、5人、……の問題に挑戦してみましょう。

入試本番でじゃんけん問題が出たらサービスです。サッと解いて、確実に正解したいところです。

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