じゃんけんは、グー・チョキ・パーを手の形で表し、どの形を出したかで勝敗を決める遊びです。
日常生活でおなじみのじゃんけんは、中学受験算数では場合の数の問題として出題されます。
3人でじゃんけんをする問題を考えよう
【例題1】A、B、Cの3人でじゃんけんを1回します。このとき、次の各問いに答えなさい。
(1) Aだけが勝つ手の出し方は何通りですか。
(2) Aが勝つ手の出し方は何通りですか。
(3) 1人が勝つ手の出し方は何通りですか。
(4) あいこになる手の出し方は何通りですか。
(1)と(2)の違いがわかりますか？
(1)はAだけが勝って、BとCは負けます。一方、(2)は、(1)の結果だけでは足りません。なぜなら、BかCのどちらかも勝つ場合があるからです。ちなみに、3人でじゃんけんをするので、A、B、Cの3人が勝つことはありません。
(1)と(2)の違いを理解した上で、問題を解いていきましょう。
(1)の解答（Aだけが勝つ）
Aの手の出し方はグー・チョキ・パーの3通りです。
Aだけが勝つ場合、AとBCの手の出し方（A、BC）は（グー、チョキ）（チョキ、パー）（パー、グー）の3通りです。
(2)の解答（Aが勝つ）
Aだけでなく、Bも勝つ場合を考えます。
ABとCの手の出し方（AB、C）は（グー、チョキ）（チョキ、パー）（パー、グー）の3通りです。
Bが負けてCが勝つ場合も考えると、AだけでなくBかCも勝つ手の出し方は3×2＝6（通り）です。
(1)の答と合わせて、Aが勝つ手の出し方は3＋6＝9（通り）です。
勝者と敗者の手の出し方（勝者、敗者）は、いつでも（グー、チョキ）（チョキ、パー）（パー、グー）の3通りしかないのね！
(3)の解答（1人が勝つ）
(1)ではAだけが勝ちます。しかし、1人が勝つ場合、勝者はAではなくBやCかもしれません。
勝者と敗者の手の出し方は(1)と同じで、勝者はA、B、Cの3通りあるので、1人が勝つ手の出し方は3×3＝9（通り）です。
(4)の解答（あいこになる）
あいこになる手の出し方は、3人全員の手が同じ場合とグー・チョキ・パーのすべての手が出る場合があります。
① 3人全員の手が同じ場合、グー・チョキ・パーの3通りです。
② グー・チョキ・パーのすべての手が出る場合、Aの手の出し方は3通り、Bの手の出し方はAの手以外の2通り、Cの手の出し方はA、Bの手以外の1通りです。したがって、3×2×1＝6（通り）です。
①②より、あいこになる手の出し方は3＋6＝9（通り）です。
①と②は同時に起こらないので、和の法則を使うよ。3×6＝18にしないでね。
(4)を余事象で解いてみよう
(4)は、「勝負が決まる手の出し方」の余事象です。
したがって、「あいこになる手の出し方」＝「すべての手の出し方」－「勝負が決まる手の出し方」でも求められます。
すべての手の出し方は、A、B、Cの3人がそれぞれグー・チョキ・パーの3通りの手を出せるので3×3×3＝27（通り）です。
勝負が決まる手の出し方には、1人が勝つ手の出し方と2人が勝つ手の出し方があります。
2人が勝つ手の出し方は、1人が勝つ手の出し方で勝者と敗者が入れ替わるだけなので、(3)の結果から9通りです。
「勝負が決まる手の出し方」＝「1人が勝つ手の出し方（(3)の答）」＋「2人が勝つ手の出し方」なので、9＋9＝18（通り）です。
したがって、あいこになる手の出し方は27－18＝9（通り）です。
3人でじゃんけんをする問題では、あいこになる手の出し方を直接求めても、余事象を考えても、どちらでもそれほど難しくない。でも、人数が4人、5人、……と増えたとき、余事象の考え方がとても役に立つよ。
4人でじゃんけんをする問題を考えよう
【例題2】A、B、C、Dの4人でじゃんけんを1回します。このとき、次の各問いに答えなさい。
(1) 1人が勝つ手の出し方は何通りですか。
(2) 2人が勝つ手の出し方は何通りですか。
(3) あいこになる手の出し方は何通りですか。
勝者と敗者の手の出し方（勝者、敗者）は（グー、チョキ）（チョキ、パー）（パー、グー）の3通りです。
(1)の解答（1人が勝つ）
A、B、C、Dの4人から勝者を1人だけ選ぶ選び方は4通りです。
したがって、1人が勝つ手の出し方は3×4＝12（通り）です。
(2)の解答（2人が勝つ）
A、B、C、Dの4人から勝者を2人だけ選ぶ選び方は、AB、AC、AD、BC、BD、CDの6通りです。
したがって、2人が勝つ手の出し方は3×6＝18（通り）です。
組合せの公式を使えば、A、B、C、Dの4人から勝者を2人だけ選ぶ選び方は4C2＝\(\frac{4×3}{2×1}\)＝6（通り）よ。
(3)の解答（あいこになる）
あいこになる手の出し方は、4人全員の手が同じ場合とグー・チョキ・パーのすべての手が出る場合があります。
① 4人全員の手が同じ場合、グー・チョキ・パーの3通りです。
② グー・チョキ・パーのすべての手が出る場合、たとえばAとBが同じ手を出すとします。このとき、ABの手の出し方は3通り、Cの手の出し方はABの手以外の2通り、Dの手の出し方はAB、Cの手以外の1通りです。したがって、3×2×1＝6（通り）です。
同じ手を出す2人の選び方は、AB、AC、AD、BC、BD、CDの6通りなので、6×6＝36（通り）です。
①②より、あいこになる手の出し方は3＋36＝39（通り）です。
(3)を余事象で解いてみよう
余事象を利用して、「あいこになる手の出し方」＝「すべての手の出し方」－「勝負が決まる手の出し方」でも求められます。
すべての手の出し方は、A、B、C、Dの4人がそれぞれグー・チョキ・パーの3通りの手を出せるので3×3×3×3＝81（通り）です。
勝負が決まる手の出し方には、1人が勝つ手の出し方と2人が勝つ手の出し方と3人が勝つ手の出し方があります。
3人が勝つ手の出し方は、1人が勝つ手の出し方で勝者と敗者が入れ替わるだけなので、(1)の結果から12通りです。
「勝負が決まる手の出し方」＝「1人が勝つ手の出し方（(1)の答）」＋「2人が勝つ手の出し方（(2)の答）」＋「3人が勝つ手の出し方」なので、12＋18＋12＝42（通り）。
したがって、あいこになる手の出し方は81－42＝39（通り）です。
n人がじゃんけんをしてk人が勝つ手の出し方は、（n人からk人を選ぶ組合せ）×（勝者と敗者の手の出し方）なので、nCk×3通りと表せるよ。
じゃんけん問題はサッと解いて確実に正解しよう
じゃんけん問題は、何人でじゃんけんをする場合でも、やるべきことは同じです。
まずは3人でじゃんけんをする問題をきちんと理解して、4人、5人、……の問題に挑戦してみましょう。
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