【計算の工夫】部分分数分解で掛け算を引き算にするキセル算が楽しい

【四則計算】逆算のしくみを線分図・面積図や方程式で徹底理解しよう計算
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分母が2つの整数のかけ算のときを考えよう

\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{3}\)を通分して計算すると、\(\frac{3}{2×3}\)-\(\frac{2}{2×3}\)=\(\frac{1}{2×3}\)です。このことから、\(\frac{1}{2×3}\)=\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{3}\)が正しいとわかります。

では、\(\frac{1}{2×4}\)はどのように部分分数分解できますか?

とりあえず引き算の式\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{4}\)を作って通分してみましょう。

\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{4}\)=\(\frac{4}{2×4}\)-\(\frac{2}{2×4}\)=\(\frac{2}{2×4}\)です。このことから、\(\frac{2}{2×4}\)=\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{4}\)が成り立ちます。

\(\frac{2}{2×4}\)に\(\frac{1}{2}\)をかけると分子の2が1になるので、\(\frac{1}{2×4}\)=\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{2}{2×4}\)=\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)\)、つまり\(\frac{1}{2×4}\)=\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)\)です。

同じように考えると、\(\frac{1}{2×5}\)はどのように部分分数分解できますか?

\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{5}\)=\(\frac{5}{2×5}\)-\(\frac{2}{2×5}\)=\(\frac{3}{2×5}\)です。

\(\frac{3}{2×5}\)に\(\frac{1}{3}\)をかけると分子の3が1になるので、\(\frac{1}{2×5}\)=\(\frac{1}{3}\)×\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)\)です。

部分分数分解を整理すると次の式になります。

A, Bが整数でA<Bのとき、\(\frac{1}{A×B}\)=\(\frac{1}{B-A}\)×\(\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)\)

たとえば、\(\frac{1}{2×6}\)=\(\frac{1}{4}\)×\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)\)、\(\frac{1}{2×7}\)=\(\frac{1}{5}\)×\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{7}\right)\)、\(\frac{1}{2×8}\)=\(\frac{1}{6}\)×\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)\)、…です。

ただ、\(\frac{1}{A×B}\)=\(\frac{1}{B-A}\)×\(\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)\)を覚える必要はありません。とりあえず引き算の式を作り、通分して分子を確認すれば、引き算の式にどんな分数にかければいいかがわかるからです。

【例題2】次の計算をしなさい。

\(\frac{1}{1×3}\)+ \(\frac{1}{3×5}\)+\(\frac{1}{5×7}\)+\(\frac{1}{7×9}\)

\(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\)=\(\frac{2}{1×3}\)で分子が2になるので、\(\frac{1}{1×3}\)の部分分数分解では、引き算の式\(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\)に\(\frac{1}{2}\)をかければいいことがわかります。

\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)\)+\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)\)+\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)\)+\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right)\)=\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{9}\right)\)=\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{8}{9}\)=\(\underline{\frac{4}{9}}\)

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