【四則計算】逆算のしくみを線分図・面積図や方程式で徹底理解しよう

【四則計算】逆算のしくみを線分図・面積図や方程式で徹底理解しよう 計算

算数の基礎となる足し算・引き算・かけ算・わり算を四則計算といいます。今回は、整数の四則計算を図で表す方法と基本的な逆算(□を求める計算)を紹介します。

足し算・引き算は線分図で表そう

足し算は加法ともいい、その答はです。引き算は減法ともいい、その答はです。

足し算と引き算は、次のような線分図で表せます。

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この線分図から、6+4=10という足し算の式を作れます。また、6と4を入れかえて、4+6=10も成り立つことがわかります。

一方、引き算の式は、10-6=4と10-4=6の2種類を作れます。10-6=4で10と6を入れかえることはできません。

線分図で考えれば、足し算・引き算の逆算がどうして成り立つのかも理解できるでしょう。

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足し算の逆算は次の通りです。

□+4=10 → □=10-4

4+□=10 → □=10-4

引き算の逆算は次の通りです。

10-□=4 → 10-4=□

このタイプの引き算では、-の後ろの□と=の後ろの数を入れかえられます。

また、次の線分図は、別のタイプの引き算の逆算を表しています。

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□-6=4 → □=4+6

□-4=6 → □=6+4

シイタケくん
シイタケくん

「線分」と「直線」って違うんですか?

エリンギ先生
エリンギ先生

下の図のように、点Aと点Bで止まっている直線を「線分AB」というんだ。これに対して、「直線AB」といったら、点Aと点Bを通り過ぎてずっと伸びていくよ。

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かけ算・わり算は面積図で表そう

かけ算は乗法ともいい、その答はです。わり算は除法ともいい、その答はです。

かけ算とわり算は、次のような面積図で表せます。面積図では、「たて×横」の式で表される長方形の面積を使います。

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「たて×横=面積」なので、2×5=10というかけ算の式を作れます。また、「面積÷たて=横」から10÷2=5、「面積÷横=たて」から10÷5=2というわり算の式をそれぞれ作れます。10÷2=5で10と2を入れかえることはできません。

次の面積図から、かけ算・わり算の逆算を理解しましょう。

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かけ算の逆算は次の通りです。

□×5=10 → □=10÷5

5×□=10 → □=10÷5(×の前後は入れかえられます)

わり算の逆算は次の通りです。

10÷□=5 → 10÷5=□

このタイプのわり算では、÷の後ろの□と=の後ろの数を入れかえられます。

また、次の線分図は、別のタイプのわり算の逆算を表しています。

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□÷2=5 → □=5×2

□÷5=2 → □=2×5

方程式の考え方から逆算の式を理解しよう

=(イコール)は、答を出すための記号ではなく、「同じ」という意味の記号です。そのため、=で結ばれているものはすべて等しくなければなりません。

たとえば、2+4=6は正しいです。一方、2+4=6÷2=3は、2+4の計算結果である6と最後の3が等しいという意味になってしまうので正しくありません。中学受験算数では、この=の使い方がとても大切です。

さて、□+4=10のように、わからない数(□など)を含み、最初から=がある式(等式)を方程式といいます。

方程式に含まれる□などは、ある数では=が成り立ちますが、それ以外の数では=が成り立ちません。□+4=10は、□=6のとき6+4=10ですが、□=5のときは5+4=9≠10です。

方程式の=の左側を「左辺(さへん)」、右側を「右辺(うへん)」、左辺と右辺を合わせて「両辺(りょうへん)」といいます。□+4=10は、□+4が左辺、10が右辺、□+4と10を合わせて両辺です。

方程式では、両辺に同じことをしても=の関係はくずれません。□+4=10の両辺から4を引いても=のままだということです。

□+4=10

□+4-4=10-4

左辺の4-4=0なので、

□=10-4

両辺に同じことをした結果、逆算の式になりました。

ここでは両辺に同じ数を足しましたが、同じ数を引くこともできます。同じ数をかけたり、同じ数でわったりしてもOKです。

「両辺に同じことをしても=の関係がくずれない」に納得できない場合、次のように考えてみてください。

6+4=10

6+4-4=10-4

6=10-4

□がない数字だけの等式だと、「両辺に同じことをしても=の関係がくずれない」が正しいことがよくわかります。

エノキさん
エノキさん

「中学入試では、方程式を使ってはいけない」という話を聞きますが、本当ですか?

エリンギ先生
エリンギ先生

受験する中学が「方程式禁止」と明言していない限り、使っていけないことはないだろう。そもそも、答だけ書かせる問題なら、受験生がどんな方法で解いても、採点者にはわからないしね。

逆算をすらすらできるようにしよう

四則計算の逆算が成り立つ理由は、線分図・面積図や方程式から明らかです。このように「なぜ成り立つのか?」を考えることは、応用力をきたえる上で大切です。

一方で、逆算は、いちいち図などを使わなくても、パッと計算できなければなりません。次の式変形はしっかり頭に入れておきましょう。

【足し算】 □+A=B → □=B-A   A+□=B → □=B-A

【引き算】 □-A=B → □=B+A   A-□=B → □=A-B

【かけ算】 □×A=B → □=B÷A   A×□=B → □=B÷A

【わり算】 □÷A=B → □=B×A   A÷□=B → □=A÷B

引き算とわり算の式変形の中でも、線を引いた逆算は特に役立ちます。ただし、AとBの位置をまちがえないように注意が必要です。

逆算をすらすらできることが、中学受験算数を得意にするための第一歩です。

次の質問に答えましょう。(解答例は最後のページにあります)

① 四則計算はどのような図で表せますか。

② =(イコール)はどのような意味の記号ですか。

③ 方程式の両辺に同じ数をかけました。どうなりますか。

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