【場合の数】公式当てはめでは解けない!旗のぬり分け問題の攻略法

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みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記

赤、青、黄、緑の4色があります。これらの色を使って、下の図のような旗のA,B,C,D,Eの5つの部分をぬり分けます。このとき、となり合う部分には同じ色をぬらないものとして、次の問に答えなさい。

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(2) 4色のうち何色使ってもよいとすると、ぬり分ける方法は全部で何通りありますか。

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4色のうち何色使ってもよい場合

前ページと同様に、4色のうち何色使ってもよい場合を考えます。4色すべてを使う場合以外に、そもそも何色使えるのでしょうか?これも絵を描いてみましょう。

何色使えばぬり分けられるか?

「となり合う部分には同じ色をぬらない」という条件がある以上、4色すべてを使う場合以外は、3色を使う1パターンしか無いことが分かると思います。

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同じ色でぬる部分は“AとE”と“CとD”です。

配色は何通りあるか?

AとEは、4色から色を決めればいいので4通り。CとDは、AとEをぬった色を除いた3色から色を決めればいいので3通り。Bは、A,C,D,Eをぬった色を除いた2色から決めればいいので2通り。

それぞれの色の決め方はすべて同時に起こる事象なので、積の法則を用いて、“4×3×2×1=24(通り)”です。

積の法則か?和の法則か?

最後に、上で求めた24通りと(1)の結果との関係を考えます。

4色すべてを使う場合と3色を使う場合は同時に起こり得ません。同時に起こり得ない事象を考えるときは和の法則を使います。したがって、“24+72((1)の答)=96(通り)”が(2)の答です。

「場合の数」では公式に頼らない

高校数学では、順列や組合せの公式としてPやCなどを習います。しかし、これらの公式を振り回しても解けない問題があります。

今回紹介した旗のぬり分け問題では、最後の計算にPを使えます。しかし、Pを使う前の段階として、「色のぬり方にはどんなパターンがあるのか?」を把握する必要があります。その際、絵を描くと分かりやすいんですね。逆に、絵を描く作業をすっ飛ばして公式を使うと撃沈します。

「場合の数」攻略のポイントは、公式に頼らないことです。

トップ画像=Pixabay

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