【濃度算】食塩水の濃さを割合の公式や面積図・天秤図から求めよう!

【濃度算】食塩水の濃さを割合の公式や面積図・天秤図から求めよう! 割合と比
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問題演習コーナー

【問題】10%の食塩水Aが100gあります。Aに5%の食塩水Bを5g加えてよくかき混ぜ、1回の操作とします。このとき、次の問いに答えましょう。

(1) 5回目の操作が終わった後、Aの濃度は何%になっていますか。

(2) Aの濃度が初めて8%以下になるのは、何回目の操作が終わった後ですか。

(1)の解答

10%の食塩水A100gと5%の食塩水B25g(=5g×5回)を混ぜ合わせると考えます。それぞれの食塩水に溶けている食塩の重さを求めます。

A100gに溶けている食塩の重さは100×0.1=10(g)です。B25gに溶けている食塩の重さは25×0.05=1.25(g)です。

したがって、「食塩の重さ÷食塩水の重さ=濃度(小数)」より、(10+1.25)÷(100+25)=0.09です。これを100倍して9%が答です。

別解1

【濃度算】食塩水の濃さを割合の公式や面積図・天秤図から求めよう!

上の図の□を求めます。

長方形Aの面積と長方形Bの面積は等しいので、長方形Aの高さを■、長方形Bの高さを▲とすると、■×100=▲×25です。この式を逆比の関係に書きかえて、■:▲=25:100=1:4です。また、■+▲=10-5=5なので、■=5÷(1+4)×1=1と求められます。したがって、□=10-■=10-1=9(%)が答です。

別解2

【濃度算】食塩水の濃さを割合の公式や面積図・天秤図から求めよう!

上の図の□を求めます。

食塩水の重さの比がA:B=100:25=4:1なので、濃度の比がA:B=■:▲=1:4です。天秤の腕全体の長さは10-5=5(%)なので、■=5÷(1+4)×1=1(%)となり、□=10-1=9(%)が答です。

(2)の解答

面積図や天秤図で解きにくい問題は、□を使った式を作って解きます。

□回目の操作が終わった後、Aの濃度が8%になったとします。このとき、10%の食塩水A100gと5%の食塩水B(5×□)g(=5g×□回)を混ぜ合わせたことになります。

B 5gに溶けている食塩の重さは5×0.05=0.25(g)なので、B(5×□)gに溶けている食塩の重さは(0.25×□)gです。

したがって、「食塩の重さ÷食塩水の重さ=濃度(小数)」より、(10+0.25×□)÷(100+5×□)=0.08です。これを解いて□を求めます。

(10+0.25×□)÷(100+5×□)=0.08

10+0.25×□=0.08×(100+5×□)

10+0.25×□=8+0.40×□

(0.40-0.25)×□=10-8

0.15×□=2

□=2÷0.15=13.33…

回数は整数でなければならないので、14回目が答です。(13回目だと8%以下にならないので注意しましょう)

① 食塩水の濃度(濃さ)とは何ですか。

(例)食塩水の中に溶けている食塩の重さの割合です。

② 食塩水の重さ・食塩の重さ・濃度は、それぞれ割合の式の何に当たりますか。

(例)食塩水の重さはもとにする量、食塩の重さはくらべる量(くらべられる量)、濃度は割合に当たります。

③ 濃度の変化を考える問題では、何に着目しますか。

(例)食塩の重さに着目します。

④ 天秤図では、食塩水の重さと濃度を何で表しますか。

(例)食塩水の重さをおもりで、食塩水の濃度をおもりから支点までの腕の長さで表します。

トップ画像=写真AC

コメント

  1. 匿名 より:

    参考になりました。
    ありがとうございました。

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