【数の性質】偶数や奇数はどんな整数?和の法則性や見分け方を考える

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みみずく戦略室

整数にはさまざまな分類があります。その中でもいちばん基本になるのが偶数と奇数です。今回は、偶数と奇数について詳しく紹介します。

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偶数と奇数

0、1、2、3、4、5、…と続く整数のうち、2で割り切れる整数を偶数といいます。「2で割り切れる」とは、2で割った余りが0になるということです。0、2、4、6、…が偶数です。

一方、2で割り切れない整数を奇数といいます。奇数は、2で割ると、必ず余りが1になります。1、3、5、7、…が奇数です。

偶数の列0、2、4、6、…は、ある偶数に2を足すと次の偶数になります(たとえば、2に2を足すと4、4に2を足すと6になります)。同じように、奇数の列1、3、5、7、…も、ある奇数に2を足すと次の奇数になります。つまり、偶数の列と奇数の列は、どちらも2ずつ増えていく数列です。

偶数と奇数の和

偶数は2で割り切れる整数なので、「2の倍数」ということもできます。したがって、nを0以上の整数とすると、偶数は2×nと表されます(□の倍数は「□×整数」で表されます)。

一方、奇数は2で割ると1余るので、0以上の整数をnとすると2×n+1と表されます。このことから、奇数は「偶数+1」であることがわかります。

ここで、偶数や奇数を足してみましょう。まずは「偶数+偶数」を考えます。2+4=6、14+22=36、8+102=110など、「偶数+偶数=偶数」です。このことを証明すると次の通りです。

【「偶数+偶数=偶数」の証明】

m、nを整数として、2つの偶数を2×m、2×nと表す。

「偶数+偶数」は、2×m+2×n=2×(m+n)

m+nは整数なので2×(m+n)は偶数となり、「偶数+偶数=偶数」である。

※ 2×m+2×n=2×(m+n)は、□×△+□×〇=□×(△+〇)という分配法則を使いました。

このように証明してみると、全ての偶数について「偶数+偶数=偶数」が成り立つことがわかります。

形太
そもそも「証明」って何ですか?

みみずく
ある事柄が正しいことを明らかにすることを「証明」というよ。中学以降の数学では「~を証明しなさい」という問題もあるんだ。

数美
2+4=6、14+22=36、8+102=110などの例をたくさん出していったら、それで「偶数+偶数=偶数」が正しいことの証明にならないんですか?

みみずく
いくらたくさん具体例を出しても、それだけでは全ての整数について「偶数+偶数=偶数」が成り立つかどうかは分からない。だから、どんな整数にもなれるm、nを使った式で説明するんだよ。

同じように考えて、「奇数+奇数=偶数」「偶数+奇数=奇数」です。証明が気になる受験生の皆さんは、以下を参考にしてください。

【「奇数+奇数=偶数」の証明】

m、nを整数として、2つの奇数を2×m+1、2×n+1と表す。

「奇数+奇数」は、(2×m+1)+(2×n+1)=2×m+2×n+2=2×(m+n+1)

m+n+1は整数なので2×(m+n+1)は偶数となり、「奇数+奇数=偶数」である。

【「偶数+奇数=奇数」の証明】

m、nを整数として、偶数を2×m、奇数を2×n+1と表す。

「偶数+奇数」は、2×m+(2×n+1)=2×m+2×n+1=2×(m+n)+1

m+nは整数なので2×(m+n)+1は奇数となり、「偶数+奇数=奇数」である。

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