【過不足算】余りや不足を足す?引く?面積図でパターン暗記脱却

みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記 算数
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長いす問題のちょっとひねったバージョン

講堂の長いすに生徒が座ります。1脚に5人ずつ座ると、9人分の空席ができました。また、1脚に4人ずつ座ると、長いすが5脚足りなくなりました。生徒の人数が9の倍数だとすると、生徒は何人いますか。

この問題でも、とりあえず面積図を描いてみましょう。

みみずく戦略室

「9人分の空席」は、前ページと同様に、赤い長方形の上の部分の面積です。一方、赤い長方形の下の部分の面積(???)には、どんな数が入るでしょうか?

「???」に入る数は、「1脚に4人ずつ座ると、長いすが5脚足りなくなりました。」から求めます。ここで、「4人ずつ座れる長いすが5脚足りないんだから、4人×5脚=20人でしょ?」と安易に考えてはいけません。

確かに、足りない5脚のうち4脚までは4人ずつ座ることになります。しかし、5脚目に座る人数は、必ずしも4人とは限りません。4人が座れる長いすには、1人から4人まで座る可能性があるからです。したがって、「???」の人数は、4人×4脚+(1人~4人)×1脚=17人以上20人以下です。

みみずく戦略室

赤い長方形の面積は、17人以上20人以下に9人を足して26人以上29人以下です。赤い長方形の縦が1人なので、□も26脚以上29脚以下になります。

この後、□に26~29までの具体的な数値を当てはめて、生徒の人数が9の倍数になる場合を求めます。

・□=26のとき、生徒の人数は5×26-9=121(人)

・□=27のとき、生徒の人数は5×27-9=126(人)

・□=28のとき、生徒の人数は5×28-9=131(人)

・□=29のとき、生徒の人数は5×29-9=136(人)

したがって、3の倍数である126人が答です。

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面積図を使えばパターン暗記は不要

中学受験算数の問題集には、過不足算のページに「(余り-余り)÷(配り方の差)=人数」のような公式がいくつも並んでいることがあります。このような公式をわざわざ覚える必要はありません。面積図(や線分図)をきちんと描いて、それを見ながら考えれば分かることだからです。

しかし、多くの塾では、「面積図を見て考えなさい」ではなく、「この場合はこうなるから覚えなさい」と教えているんですね。そのレベルの授業しか受けていない生徒たちは、基本的な過不足算は解けても、「長いす問題」であえなく撃沈します。

こうした受験業界の現状に対して、僕は、パターン暗記に頼らない算数を推進したいと思っています。

トップ画像=Pixabay

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