【計算の工夫】部分分数分解で掛け算を引き算にするキセル算が楽しい

【四則計算】逆算のしくみを線分図・面積図や方程式で徹底理解しよう計算
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問題演習コーナー

【問題】次の計算をしなさい。

(1) \(\frac{3}{3×6}\)+ \(\frac{3}{6×9}\)+\(\frac{3}{9×12}\)+\(\frac{3}{12×15}\)+\(\frac{3}{15×18}\)

(2) \(\frac{1}{1×3}\)+ \(\frac{1}{2×4}\)+\(\frac{1}{3×5}\)+\(\frac{1}{4×6}\)+\(\frac{1}{5×7}\)+\(\frac{1}{6×8}\)

(3) \(\frac{1}{1×2×3}\)+ \(\frac{1}{2×3×4}\)+\(\frac{1}{3×4×5}\)+…+\(\frac{1}{7×8×9}\)+\(\frac{1}{8×9×10}\)

(1) \(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\)=\(\frac{3}{3×6}\)で分子が3になるので、\(\frac{3}{3×6}\)の部分分数分解では、引き算の式\(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\)に何もかけなくていいことがわかります。

\(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)\)+\(\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{9}\right)\)+\(\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{12}\right)\)+\(\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{15}\right)\)+\(\left(\frac{1}{15}-\frac{1}{18}\right)\)=\(\frac{1}{3}\)-\(\frac{1}{18}\)=\(\underline{\frac{5}{18}}\)

(2) \(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\)=\(\frac{2}{1×3}\)で分子が2になるので、\(\frac{1}{1×3}\)の部分分数分解では、引き算の式\(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\)に\(\frac{1}{2}\)をかければいいことがわかります。

\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)\)+\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)\)+\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)\)+\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)\)+\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)\)+\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\right)\)

=\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)\)

=\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{56}{56}+\frac{28}{56}-\frac{8}{56}-\frac{7}{56}\right)\)

=\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{69}{56}\)

=\(\underline{\frac{69}{112}}\)

(3) \(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}\)=\(\frac{2}{1×2×3}\)で分子が2になるので、\(\frac{1}{1×2×3}\)の部分分数分解では、引き算の式\(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}\)に\(\frac{1}{2}\)をかければいいことがわかります。

\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}\right)\)+\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}\right)\)+\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{3×4}-\frac{1}{4×5}\right)\)+…+\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{7×8}-\frac{1}{8×9}\right)\)+\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{8×9}-\frac{1}{9×10}\right)\)

=\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{9×10}\right)\)

=\(\frac{1}{2}\)×\(\left(\frac{45}{90}-\frac{1}{90}\right)\)

=\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{44}{90}\)

=\(\underline{\frac{11}{45}}\)

トップ画像・キセル画像=写真AC

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