【グラフと図形】関数と図形の融合問題で全問正解を狙う解法パターン

中学数学の関数分野に「グラフと図形」があります。xy平面上のグラフといくつかの点から図形を描き、それをもとにして未知の点の座標や関数の式を求める問題です。

「グラフと図形」は高校入試で頻出です。都立高校入試では、一般入試だけでなく、自校作成問題（グループ作成問題）でも、例年このタイプの問題が出題されます。

一方、多くの受験生は、「グラフと図形」を苦手とします。定期試験などであまり出題されず、対策が手薄になりがちだからです。

そんな「グラフと図形」の攻略法を紹介します。

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「グラフと図形」の解法パターン

こちらの問題は、平成28年度の都立高校入試（一般入試）の大問3[問3]です。一見すると難しそうですね。

しかし、「グラフと図形」には解法パターンがあります。その解法に則って解けば、恐れるに足りません。

というわけで、「グラフと図形」の解法の手順を順に見ていきましょう。

未知の点のx座標を\(t\)とおく

まずは、未知の点のx座標を\(t\)とおきます。

今回の問題では、「点Pのx座標を求めよ」と指示されているので、Pのx座標を\(t\)とおきます。また、Pは二次関数のグラフ上にあるので、Pの座標は\(\left(t, \frac{1}{4}t^2\right)\)と表せます。

このように、\(t\)を使って、y座標や他の点の座標も表していきます。\(t\)以外の文字を使うとややこしくなるので、できる限り文字は\(t\)だけを使うようにしましょう。

\(t\)を使って問題文を式に変換する

次に、\(t\)を使って問題文を式に変換していきます。

たとえば、「△CBPの面積」と問題文にあるので、これを文字式で表します。

上図のように、BCの延長線にPから下ろした垂線の足（BCの延長線とPを通る垂線との交点）をDとします。

なぜこのようなことをしたかというと、中学数学の「グラフと図形」では、次の鉄則があるからです。

点と直線の距離を出す術を持たない中学生にとって、△CBPの底辺をBPやCPとすると、高さを求められなくなります。そのため、△CBPの底辺はBC、高さをDPとします。

ここで、BCとDPの長さを求めます。x軸右方向を正、y軸上方向を正とするxy平面上では、線分の長さを次の式で求めます。

したがって、△CBPの面積は次の式になります。

同様に、「△AOPの面積」を次の式で表します（Eは、PからAOに下ろした垂線の足）。

方程式を作って解く

最後に、方程式を作って解きます。

問題文には、「△CBPの面積は△AOPの面積の3倍」とあります。ここから、方程式を作って\(t\)の値を求めます。

問題文に「Pのx座標が8より小さい正の数」とあるので、\(t\)=4を選んで、正解は4となります。

「グラフと図形」は全問正解を狙える!!

「グラフと図形」の問題は、解法がワンターンで、計算量も多くありません。他の図形問題（平面図形・空間図形）に比べると、大きく難易度が下がります。過去10年の都立高校入試問題を徹底分析して分野別にまとめた問題集「高校入試　虎の巻」を使って練習して、確実に正解してほしいところです。

「未知の点のx座標を\(t\)とおいて、方程式を作って解く」という解法パターンは、高校数学でも活きてきます。中学生のうちに習得しておくことをお勧めします。苦手な受験生は、以下の問題集で練習するといいでしょう。

トップ画像＝Pixabay

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