【場合の数】組合せの樹形図は規則性に注目!重複や数え落としを防ぐ

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みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記

小学校から高校までで学ぶ算数・数学には、「場合の数」という分野があります。この分野では、並び順を考える「順列」並び順を考えない「組合せ」を扱います。

「場合の数」は、ある出来事について、その起こり得るパターンを全て数え上げます。その際の原則が「書いて数え上げる」です。特に小学算数や中学数学では、全てのパターンをとにかく書いて、「1,2,3,……」と数えればそれで終わりなんですね。そして、全てのパターンを網羅するために樹形図や表を描きます。

「組合せ」の樹形図をどう描く?

多くの生徒たちが頭を抱えるのは「組合せ」の方です。

「組合せ」は並び順を考えないため、樹形図などを描く際に同じ組(たとえば「AB」と「BA」など)を省く必要があります。その省く作業が生徒たちにとって難しいのです。たとえば、次の問題を考えましょう。

A,B,C,D,Eの5人の中から4人の掃除当番を選ぶ。その選び方は何通りあるか。

この問題の樹形図を描く場合、「A-B-C-D」「A-B-D-C」「A-C-B-D」「B-A-C-D」などは区別せずに同じ組と考えます。しかし、普通に樹形図を描くと、このような同じ組が大量に出てきます。

同じ組も全部書き上げた後、不要な組を消してもOKです。ただ、このやり方は非効率的で、重複や数え落としの原因になるんですね。そのため、樹形図には、同じ組を最初から書かないようにすべきです。

規則性に注目して樹形図を描く

「組合せ」の樹形図を描く際に大切なのは、規則性に注目することです。冒頭の問題について、規則性を意識して同じ組を省いた樹形図を描くと次のようになります。

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この樹形図の規則性がわかりますか?

この樹形図を描く際に注目した規則性はアルファベットの順番です。ある文字から枝分かれする先には、アルファベット順でその文字より後の文字だけを書く。この独自ルールを適用したんですね。

たとえば、「A-C」の後にはBを書かずにDを書いています。Dの後に来るのは自然とEに決まります。

「A-C」の後にはEを書きません。Eの後にBやDを書いてはいけないというルールなので、Eの後に書ける文字が存在しないからです。同様に、Aの後にDやEも書けません。「A-D-B-C」などの枝はルールに反します。

したがって、Aで始まる枝は「A-C-D-E」で終わっています。同様に、Bで始まる枝は「B-C-D-E」だけです。

規則性に注目して樹形図を描くと、冒頭の問題の答はたった5通りになります。

ひらめきよりも樹形図!!

冒頭の問題で同じ組まで書き上げると、樹形図の枝は120通りになります。そこから115通りを消すという作業は明らかに無駄ですね。無駄なことをしないためにも、「組合せ」の問題では規則性に注目することが大切です。

ちなみに、冒頭の問題では、樹形図を描くより楽な考え方があります。問題文を次のように解釈するのです。

5人の中から4人の掃除当番を選ぶ → 5人の中から1人だけ掃除当番でない人を選ぶ

このような発想の転換ができれば、「5通り」という答をすぐに求められます。

ただ、ひらめきを必要とする解法は、実際の試験では思いつかない場合がほとんどです。だからこそ、規則性に注目して樹形図を描く解法が大切なんですね。

トップ画像=Pixabay

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