【場合の数】計算で組合せを求めよう！Cの公式はなぜ成り立つのか？

問題演習コーナー

【問題】1、2、3、4、5、6、7、8、9の書かれた9枚のカードがあります。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1) この9枚の中から3枚を選んで3けたの整数を作るとき、何通りの奇数ができますか。

(2) この9枚の中から3枚を選んで3つの数字の積を求めるとき、積が奇数となる選び方は何通りですか。

(3) この9枚の中から3枚を選んで3つの数字の積を求めるとき、積が偶数となる選び方は何通りですか。

並び順を考える場合の数なので「順列」です。

奇数は「一の位が奇数」となるので、一の位の数字から考えていきます。一の位は、奇数である1、3、5、7、9の5枚から1枚を選ぶので5通りです。

十の位は、一の位に使った数字を除いた8通りです。百の位は、一の位と十の位に使った数字を除いた7通りです。

したがって、積の法則から5×8×7＝280（通り）が答です。

十の位と百の位は、一の位に使った数字を除いた8枚から2枚を選んで並べる順列なので、₈P₂＝\(\frac{8!}{（8－2）!}\)＝\(\frac{8!}{6!}\)＝8×7とも表せます。

並び順を考えない場合の数なので「組合せ」です。（3つの数字をどの順番でかけても同じ答になるからです）

3つの数字の積が奇数になる場合、3つの数字はすべて奇数でなければなりません。

奇数である1、3、5、7、9の5枚から3枚を選ぶ組合せなので₅C₃＝\(\frac{5×4×3}{3×2×1}\)＝10（通り）です。

(3)も(2)と同じく「組合せ」です。

3つの数字の積が偶数になる場合、少なくとも1つの数字が偶数でなければなりません。そのため、次の①～③を考えます。

① 3つの数字が全て偶数の場合、偶数である2、4、6、8の4枚から3枚を選ぶ組合せなので₄C₃＝₄C₁＝4（通り）です。

② 2つの数字が偶数の場合、偶数である2、4、6、8の4枚から2枚を、奇数である1、3、5、7、9の5枚から1枚をそれぞれ選ぶ組合せなので₄C₂×₅C₁＝\(\frac{4×3}{2×1}\)×5＝30（通り）です。

③ 1つの数字が偶数の場合、偶数である2、4、6、8の4枚から1枚を、奇数である1、3、5、7、9の5枚から2枚をそれぞれ選ぶ組合せなので₄C₁×₅C₂＝4×\(\frac{5×4}{2×1}\)＝40（通り）です。

①～③は同時に起こらないので、和の法則より4＋30＋40＝74（通り）が答です。

(3)は、①～③を考えるので、計算がやや面倒です。そこで余事象を考えます。

「積が偶数となる選び方」は「積が奇数となる選び方」の余事象なので、「積が偶数となる選び方」＝「すべての選び方」－「積が奇数となる選び方（(2)の答）」で求められます。

すべての選び方は、9枚から3枚を選ぶ選び方なので₉C₃＝\(\frac{9×8×7}{3×2×1}\)＝84（通り）です。

したがって、(2)の答を利用して、積が偶数となる選び方は84－10＝74（通り）です。

① r個のものの並び順を考えない場合、どうしますか。

（例）r!で割ります。

② 異なる100個のものから2個を選ぶ問題では、どのように考えると楽に計算できますか。

（例）「100個の中から選ばない2個を選ぶ」と考えて、₁₀₀C₂＝\(\frac{100×99}{2×1}\)＝4950のように計算します。

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