【容器と水量】水面の高さの求め方を攻略！水の深さと体積の関係は？

容器と水量に関する問題が中学受験算数では頻出です。今回の記事では、次の問題を解説します。

底面積が250cm²で、深さが20cmの容器に、深さ10cmまで水が入っています。この容器の底に、底面積が100cm²で、高さが15cmの直方体のおもりを立てます。このとき、水の深さは何cmになりますか。

場合分けと仮定

容器と水量に関する問題では、おもりを入れる前の水の体積とおもりを入れた後の水の体積は等しいことに着目します（水が容器からあふれる場合は、あふれた水の体積も考慮します）。

また、もともとの水面よりもおもりの高さが高いときは場合分けが必要です。というのも、このタイプの問題は、おもりの一部が水面上に出る場合と、おもりが完全に水中に沈む場合とが考えられるからです（下図を参照してください）。

問題文からどちらの場合とも決められないときは、どちらかの場合を仮定して問題を解き進めます。答に矛盾があれば仮定が間違っていたことになりますので、そのときはもう一方の場合を考えます。

おもりの一部が水面上に出る場合

冒頭の問題は場合分けが必要です。したがって、「おもりの一部が水面上に出る」と仮定して問題を解いていきます。

容器と水量に関する問題を解くときは、容器やおもりを立体的に考えるのではなく、平面に置きかえて考えます。その際、横の長さには底面積を書き込みましょう。

実際に、おもりの一部が水面上に出る状態で、冒頭の問題の絵を描きます。

このとき、次のように立式して□を求めます。

答の\(\frac{50}{3}\)（＝16.66…）は、おもりの高さである15よりも大きい値です。したがって、「おもりの一部が水面上に出る」という仮定と矛盾するので、「おもりが完全に水中に沈む」場合を改めて考えます。