重複組合せの公式を使わずに図を描く~順列・組合せの整数問題解法~

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みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記
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x+y+z=●を満たす整数(x,y,z)の組みの個数は?

先日、生徒から質問された数学の問題を解説します。

x+y+z=9 (x≧0,y≧0,z≧0)を満たす整数(x,y,z)の組みの個数は何組あるか。また、x+y+z=9 (x≧1,y≧1,z≧1)を満たす整数(x,y,z)の組みの個数は何組あるか。

整数分野の問題に見えますが、れっきとした順列・組合せの問題です。

生徒の持っていた問題集では、この問題を重複組合せの公式nHrで処理していました。この公式を知らない生徒は、「どうしてこうなるんですか?」と悩んでいました。

重複組合せの公式

重複組合せの公式は、一般的に次のように表されます。

異なるn個のものから重複を許してr個のものを取り出す場合の数は nHr=n+r-1Cr

「重複」とは、同じものを何回も選ぶことです。たとえば、A,B,C,D,Eの5文字から3文字を選んで文字列を作るとします。重複NGの場合、AABやAAAを作れません。Aを一回しか使えないからです。一方、重複OKの場合、AABやAAAも作れます。Aを何回使ってもいいんですね。

「重複」は、国語の授業では「ちょうふく」と読みますが、数学だと「じゅうふく」と読む場合があります。「ちょうふく」も「じゅうふく」も同じなので、混乱しないでくださいね。

公式を使わないで考えるには?

重複組合せの公式は、証明がめんどくさい上に、どの場面に適用できるのかが分かりにくいという欠点もあります。

順列・組合せの問題では、訳も分からずに公式を振り回すと撃沈します。公式に頼るよりも、図や表などを描きながら考える方が賢明です。

というわけで、次のページでは、重複組合せの公式を使わずに冒頭の問題を解いてみます。

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