【素因数分解】約数の個数の求め方を小学生にもわかりやすく教えるよ

みみずく戦略室 数の性質
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約数の個数で整数を分類しよう

素因数分解を利用して、約数の個数で整数を分類することもできます。

たとえば、約数の個数が3個の整数は、2×2=4、3×3=9、5×5=25など、同じ素数を2回かけたものです(aを素数とするとa×a)。

一方、約数の個数が4個の整数は、2×2×2=8など、同じ素数を3回かけたものです(aを素数とするとa×a×a)。2×3、3×5など、2種類の素数をかけてできる整数も、約数が4個です(a、bを異なる素数とするとa×b)。

約数の個数で整数を分類すると次の通りです。(表中のa、bは異なる素数)

約数の個数 整数 約数
1個 1 1
2個 a(素数) 1、a
3個 a×a 1、a、a×a
4個 a×a×a 1、a、a×a、a×a×a
a×b 1、a、b、a×b
5個 a×a×a×a 1、a、a×a、a×a×a 、a×a×a×a
6個 a×a×a×a×a 1、a、a×a、a×a×a 、a×a×a×a、a×a×a×a×a
a×a×b 1、a、b、a×a、a×b、a×a×b
形太
形太

どんな整数の約数にも1が含まれることを忘れないでね!

1から20までの整数を約数の個数で分類すると次の通りです。

約数の個数 整数 整数の個数
1個 1 1個
2個 2、3、5、7、11、13、17、19 8個
3個 2×2(4)、3×3(9) 2個
4個 2×2×2(8)、2×3(6)、2×5(10)、2×7(14)、3×5(15) 5個
5個 2×2×2×2(16) 1個
6個 2×2×3(12)、2×2×5(20)、2×3×3(18) 3個
数美
数美

素因数分解では、2×3×5や3×3×7×11のように、小さい素数から大きい素数に並べて書くのがコツよ。3×2×5や3×7×3×11のように不規則な書き方をすると、整数の分類で同じ整数を数えたり、数え落としたりするから要注意ね!

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約数の個数を求める問題は中学入試でもよく出る

約数の個数に関する問題は中学入試でもよく出ます。全ての約数を求めて個数を数えるのも悪くありませんが、素因数分解から約数の個数を求める方法も覚えておきたいところです。

素因数分解をするならば、どの整数が素数なのかが分かっている必要があります。エラトステネスの篩(ふるい)など、素数を発見する方法も覚えておくといいでしょう。

次の質問に答えましょう。(解答例は最後のページにあります)

① 素因数分解とは何ですか。

② 整数Xを素因数分解して、X=a×a×…×a×b×b×…×b×c×c×…×c(a、b、cは異なる素数)となる場合、Xの約数の個数はどう表せますか。

コメント

  1. 洛星志望者 より:

    ひとつ疑問に思う事があります。それは、約数の個数が4個の場合のときです。同じ素数を3回かけると書いてありますが、22も約数の個数が4個です。しかし、22が同じ素数を3回かけた数であることはおそらくありえない話だと思います。なので、自分なりにまとめてみました。
    約数が1個の場合は、1のみ。約数の個数が2個の場合は、素数。約数の個数が3個の場合は、素数の平方数。約数の個数が4個の場合は、違う数の素数をかけた数。

    • みみずく より:

      コメントありがとうございます。

      洛星志望者さんのまとめで正しいです。
      22は、3ページ目に記載したa×bタイプの数です。4ページ目の【問題】(2)も参照していただければと思います。

      ご自身で法則性に気づかれたのでしたらとても素晴らしいことです。

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