【素因数分解】約数の個数の求め方を小学生にもわかりやすく教えるよ

みみずく戦略室 数の性質
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素因数分解から約数の個数を求めよう

9は1×9、3×3なので、約数は1、3、9の3個です。この「3個」という個数を素因数分解で求めてみましょう。

9を素因数分解すると9=3×3なので、9の約数は1、3、3×3の3個だと分かります。9の約数の個数は(3の個数+1)=3(個)になっています。

同じように、36の約数の個数を求めましょう。

36=2×2×3×3なので、素数の2と3の個数に注目します。2×2の約数は、1、2、2×2の3個です。一方、3×3の約数は、1、3、3×3の3個です。

2×2の約数と3×3の約数の組み合わせを考えると、36の約数は次の9通りです。

【素因数分解】約数の個数の求め方を小学生にもわかりやすく教えるよ

36の約数の個数も(2×2の約数の個数)×(3×3の約数の個数)=(2の個数+1)×(3の個数+1)=3×3=9(個)になっています。

ここまでで分かったことを式にすると次の通りです。

整数Xを素因数分解して、

X=a×a×…×a×b×b×…×b×c×c×…×c(a、b、cは異なる素数)となる場合、

Xの約数の個数=(aの個数+1)×(bの個数+1)×(cの個数+1)

約数の個数を求める問題を解いてみよう

【例題】次の整数の約数の個数をそれぞれ求めなさい。

(1) 16  (2) 63  (3) 500  (4) 2268

それぞれの整数を素因数分解します。

(1) 16=2×2×2×2

2の個数が4個なので、16の約数の個数は4+1=5(個)

(2) 63=3×3×7

3の個数が2個、7の個数が1個なので、63の約数の個数は(2+1)×(1+1)=6(個)

(3) 500=2×2×5×5×5

2の個数が2個、5の個数が3個なので、500の約数の個数は(2+1)×(3+1)=12(個)

(4) 2268=2×2×3×3×3×3×7

2の個数が2個、3の個数が4個、7の個数が1個なので、2268の約数の個数は(2+1)×(4+1)×(1+1)=30(個)

コメント

  1. 洛星志望者 より:

    ひとつ疑問に思う事があります。それは、約数の個数が4個の場合のときです。同じ素数を3回かけると書いてありますが、22も約数の個数が4個です。しかし、22が同じ素数を3回かけた数であることはおそらくありえない話だと思います。なので、自分なりにまとめてみました。
    約数が1個の場合は、1のみ。約数の個数が2個の場合は、素数。約数の個数が3個の場合は、素数の平方数。約数の個数が4個の場合は、違う数の素数をかけた数。

    • みみずく より:

      コメントありがとうございます。

      洛星志望者さんのまとめで正しいです。
      22は、3ページ目に記載したa×bタイプの数です。4ページ目の【問題】(2)も参照していただければと思います。

      ご自身で法則性に気づかれたのでしたらとても素晴らしいことです。

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