【同じものを含む順列】公式が成り立つのはなぜ?階乗やCを利用する

【同じものを含む順列】公式が成り立つのはなぜ?階乗やCを利用する 場合の数
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問題演習コーナー

【問題】1、1、1、2、2、3の6つの数字を使って6桁の整数を作るとき、何通りの整数を作れますか。

すべての場合を地道に書いて数えるのは大変です。そこでまず、3を除いた1、1、1、2、2の並べ方を考えます。

1、1、1、2、2の5つの数字は1が3つ、2が2つなので、前ページの【例題】と同じ並べ方になって10通りです。

次に、3をどこに入れるかを考えます。

たとえば、11122に3を入れる場合、△1△1△1△2△2△とすると、△のどこか1か所に3を入れればよいことがわかります(3を入れた△以外は無視します)。したがって、11122については、3を入れる場所まで考えると6通りです。

1、1、1、2、2の並べ方は11122も含めて10通りあり、それぞれについて3を入れる場所が6通りあります。したがって、10×6=60(通り)が答です。

階乗を利用した解き方

6つの異なるものを一列に並べる並べ方は6!通りです。

3つの1を異なるものとしたとき、これらを一列に並べる並べ方は3!通りです。また、2つの2を異なるものとしたとき、これらを一列に並べる並べ方は2!通りです。

したがって、6!÷3!÷2!=\(\frac{6!}{3!×2!}\)=\(\frac{6×5×4×3×2×1}{3×2×1×2×1}\)=60(通り)が答です。

Cの公式を利用した解き方

6個の数字を置く場所をABCDEFとします。

まずは3を置く場所を1か所決めます。ABCDEFの6か所から1か所を選ぶ選び方は6C1通りです。

次に2を置く場所を2か所決めます。ABCDEFのうち、3を置いた場所を除く5か所から2か所を選ぶ選び方は5C2通りです。

残った3か所にはすべて1を置くことになるので、選び方を考える必要はありません。

したがって、6C1×5C2=\(\frac{6}{1}\)×\(\frac{5×4}{2×1}\)=60(通り)が答です。

① 同じものを含む順列の問題を階乗を利用して解く場合、どのように考えますか。

(例)すべてを異なるものとして並べた後、同じものの並べ方で割っていきます。

② 同じものを含む順列の問題をCの公式を利用して解く場合、どのように考えますか。

(例)同じものをどこに置くかを決めていきます。

トップ画像=写真AC

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