【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる

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【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる

数字が並んだ列のことを「数列」といいます。中でも、一定の数を次々に加えていった(引いていった)数列が「等差数列」です。たとえば、2、5、8、11、…は、初めの数が2、加える数が3の等差数列です。初めの数は「初項(しょこう)」、加える数は「公差(こうさ)」と呼ばれます。

今回は、等差数列の性質を考えながら、n番目の数や和を求める公式を導いてみます。

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n番目の数と和を求める公式を導こう

例題1あるきまりにしたがって、下のように数を並べました。

3、7、11、15、19、…

これについて、次の問いに答えなさい。

(1) 初めから数えて25番目の数はいくつですか。

(2) 255は、初めから数えて何番目にありますか。

(3) 3から255までをすべて加えると、その和はいくらになりますか。

例題1の数列は、初めの数が3、加える数が4の等差数列です。等差数列は、数直線を描いてみるとイメージしやすくなります。

【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる

n番目の数を求めよう

(1)では、がんばって4を足していけば、25番目の数を求めることができます。しかし、何度も何度も4を足していくのは大変です。そこで、3、7、11、15、19について、「初めの数に4をいくつ足しているのか?」を考えて、規則性を探ってみることにします。等差数列に限らず、数列の問題を考えるときは、いくつかの数から規則性を探ることが大切です

1番目の数 … 3+4×0

2番目の数 … 3+4×1

3番目の数 … 3+4×2

4番目の数 … 3+4×3

5番目の数 … 3+4×4

このように書き出してみると、初めから数えて25番目の数が3+4×24=99であるとわかります。

書き出した結果から、等差数列のn番目の数を求める公式を導けます。(n番目の数を「一般項(いっぱんこう)」といいます)

<等差数列のn番目の数を求める公式>

n番目の数=初めの数+加える数×(n-1)

この公式は覚えておいた方が便利です。公式を使えば、25番目の数=3+4×(25-1)=99となります。

何番目にあるかを求めよう

(2)は、公式を使えばあっという間に答を求められます。255が初めから数えて□番目にあるとすると、3+4×(□-1)=255です。したがって、□=(255-3)÷4+1=64(番目)が答です。

次のように数直線を使えば、公式を使わなくても解けるでしょう。

【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる

3から255の間に4がいくつあるかを考えると、(255-3)÷4=63です。255は、初め(1番目)の数である3に4を63個足したので、64番目の数です。

和を求めよう

(3)は、1番目から64番目までの数を全て足さなければなりません。どのようにして和を求められるのかを、3+7+11+15+19=55を使って考えてみましょう。

等差数列の和を求める場合、数列を逆順に並べるのがコツです。3+7+11+15+19を逆順に並べると19+15+11+7+3です。3+7+11+15+19と19+15+11+7+3を次のように足します。

【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる

数列を縦に足していくと22が5個できます。この22は「初めの数+終わりの数」です。また、22×5=(3+7+11+15+19)+(19+15+11+7+3)=(3+7+11+15+19)×2なので、3+7+11+15+19=22×5÷2=55となります。数列の和2つ分を1つにするために「÷2」をします。

この結果から、等差数列の和を求める公式を導けます。

<等差数列の和を求める公式>

和=(初めの数+終わりの数)×個数÷2

この公式を使えば、(3)の答は(3+255)×64÷2=258×32=8256です。

数美
258×64をしてから÷2をするんじゃなくて、258÷2か64÷2を先にしてしまうと、計算が少し楽になるわ!
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