【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる

【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる 数列
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等差数列の公式を使いこなそう

等差数列の少しひねった問題にチャレンジしましょう。

【例題2】あるきまりにしたがって、下のように数を並べました。

200、193、186、179、…、11、4

これについて、次の問いに答えなさい。

(1) 全部で何個の数を並べましたか。

(2) この数列のちょうど真ん中の数はいくつですか。

(1)の解答

例題2の数列は、200から7を次々と引いていった等差数列です。しかし、例題1の「加える数」が「減らす数」になっているので、とまどうかもしれません。そこで、次のように、数列を逆順に並べてみましょう。

4、11、18、25、…、193、200

こうすれば、初めの数が3、加える数が7の等差数列と考えられます。

200が初めから数えて□番目にあるとすると、4+7×(□-1)=200です。したがって、□=(200-4)÷7+1=29となり、全部で29の数を並べたとわかります。

形太
形太

初めの数が200、引く数が7の等差数列と考えて、200-7×(□-1)=4とするのはどうですか?

みみずく
みみずく

もちろん正しい式だよ。ただ、( )を外すと200-7×□+7になって、中学数学の正負の数を学んだ後でないと、-7×(-1)=+7になる理由がわからないんじゃないかな?

数美
数美

A-□=Bが□=A-Bになることを利用して、7×(□-1)=200-4にすれば、-7×(-1)=+7の計算は要らないですよね?

みみずく
みみずく

逆算(□を求める計算)が得意なら、そういう式変形をするのも有りだね。ただ、計算ミスをしないように注意する必要がある。逆順に並べる考え方は、計算に自信のない受験生におすすめなんだ。

(2)の解答

真ん中の数を求めるため、29÷2を計算すると、商が14、あまりが1です。この結果を図で表すと、次のようになります。

【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる

図より、ちょうど真ん中の数は初めから数えて15番目だとわかります。したがって、4+7×(15-1)=102が答です

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等差数列の公式を導いてみよう

等差数列の公式は、ただ覚えるだけでなく、「どうしてそうなるの?」を理解するといいでしょう。そうすれば、試験本番で公式を忘れてしまってもあわてなくて済みます。

等差数列は高校数学でも登場します。そのときに、公式の成り立ちをしっかり理解した経験が必ず役に立ちます。

次の質問に答えましょう。(解答例は最後のページにあります)

① 等差数列は、どのような数列ですか。

② 等差数列のn番目の数を考えるとき、どのようなことを考えますか。

③ 数列の問題を考えるときに大切なのはどのようなことですか。

④ 等差数列の和を求めるとき、どのようなことをするといいですか。

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