【等差数列】公式を導いてみよう！n番目の数も和も簡単に求められる

問題演習コーナー

【問題】長さ8cmのテープを、のりしろを2cmとって下の図のようにつなげていきます。このとき、次の問いに答えましょう。

(1) テープを35枚つなげると、全体の長さは何cmになりますか。

(2) 全体の長さが350cmのとき、テープを何枚つなげましたか。

有名なテープののりしろ問題です。実はこの問題も等差数列と考えることができます。

テープを1枚、2枚、3枚、…とつなげていくとき、全体の長さは8cm、14cm、20cm、…となります。8、14、20、…は、初めの数が8、加える数が6の等差数列です。

したがって、テープを35枚つなげると、全体の長さは8＋6×（35－1）＝212（cm）です。

植木算の考え方でも解けます。

のりしろをとらずにテープをつなげていくとすると、8×35＝280（cm）の長さになります。

のりしろの数は、テープ1枚で0か所、テープ2枚で1か所、テープ3枚で2か所…なので、テープ35枚で34か所です。のりしろ34か所の長さは2×34＝68（cm）です。

したがって、全体の長さは280－68＝212（cm）になります。

テープを□枚つなげたとすると、全体の長さは8＋6×（□－1）＝350です。したがって、□＝（350－8）÷6＋1＝58（枚）が答です。

テープを□枚つなげたとすると、のりしろは（□－1）か所なので、8×□－6×（□－1）＝350です。これは、次のように計算します。

8×□－2×（□－1）＝350

8×□＝350＋2×（□－1）

8×□＝350＋2×□－2

8×□－2×□＝350－2

6×□＝348

□＝348÷6＝58（枚）

植木算の考え方を使うと、(2)は計算が大変です。

① 等差数列は、どのような数列ですか。

（例）一定の数を次々に加えていった数列です。

② 等差数列のn番目の数を考えるとき、どのようなことを考えますか。

（例）「初めの数に『加える数』をいくつ足しているのか？」を考えます。

③ 数列の問題を考えるときに大切なのはどのようなことですか。

（例）いくつかの数から規則性を探ることです。

④ 等差数列の和を求めるとき、どのようなことをするといいですか。

（例）数列を逆順に並べることです。

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