問題演習コーナー
【問題】あるきまりにしたがって、下のように分数を並べました。
\(\frac{1}{1}\)、\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{2}{2}\)、\(\frac{1}{3}\)、\(\frac{2}{3}\)、\(\frac{3}{3}\)、\(\frac{1}{4}\)、\(\frac{2}{4}\)、\(\frac{3}{4}\)、\(\frac{4}{4}\)、\(\frac{1}{5}\)、…
これについて、次の問いに答えなさい。
(1) 1番目から数えて70番目の分数を求めなさい。
(2) 1番目から50番目までの分数の和を求めなさい。
分母によって次のようにグループ分けし、左から1組、2組、3組…としていきます。
各組に並んでいる分数の個数は、1組に1個、2組に2個、3組に3個、…です。n組に並んでいるn個の分数は、\(\frac{1}{n}\)、\(\frac{2}{n}\)、\(\frac{3}{n}\)、…、\(\frac{n}{n}\)です。
(1)の解答（1番目から数えて70番目の分数を求める）
70番目の数が何組にあるのかを求めます。
70番目の数がある組の前の組を□組とします。1組から□組までに並んでいる数の個数の和は（1＋□）×□÷2です。この和が70に最も近い値になる□を求めます。
（1＋□）×□÷2＝70
（1＋□）×□＝70×2＝140
1＋□を□にして□×□＝140を考える。
11×11＝121、12×12＝144なので□＝11と見当をつける。
（1＋11）×11÷2＝66＜70
計算結果から、1組から11組までに並んでいる数の個数の和は66個です。70番目の数は12組の4番目にあるので\(\underline{\frac{4}{12}}\)が答です。（約分して\(\frac{1}{3}\)にすると4番目の数になるので、約分してはいけません）
(2)の解答（1番目から50番目までの分数の和を求める）
50番目の数が何組にあるのかを求めます。
50番目の数がある組の前の組を□組とします。1組から□組までに並んでいる数の個数の和は（1＋□）×□÷2です。この和が50に最も近い値になる□を求めます。
（1＋□）×□÷2＝50
（1＋□）×□＝50×2＝100
1＋□を□にして□×□＝100を考える。
9×9＝81、10×10＝100なので□＝9と見当をつける。
（1＋9）×9÷2＝45＜50
計算結果から、1組から9組までに並んでいる数の個数の和は45個です。50番目の数は10組の5番目にあるので\(\frac{5}{10}\)です。
1組の数の和は１、2組の数の和は\(\frac{1}{2}\)＋\(\frac{2}{2}\)＝1\(\frac{1}{2}\)、3組の数の和は\(\frac{1}{3}\)＋\(\frac{2}{3}\)＋\(\frac{3}{3}\)＝2、4組の数の和は\(\frac{1}{4}\)＋\(\frac{2}{4}\)＋\(\frac{3}{4}\)＋\(\frac{4}{4}\)＝2\(\frac{1}{2}\)、…なので、1組から9組までの数の和は次のような数列になります。
これらの和に\(\frac{1}{10}\)～\(\frac{5}{10}\)を足して、（1＋2＋3＋4）×2＋\(\frac{1}{2}\)×4＋5＋\(\frac{1}{10}\)＋\(\frac{2}{10}\)＋\(\frac{3}{10}\)＋\(\frac{4}{10}\)＋\(\frac{5}{10}\)＝\(\underline{28\frac{1}{2}}\)が答です。
① 群数列とはどのような数列ですか。
（例）数列をあるきまりにしたがってグループ分けした数列です。
② 群数列の問題では何に注目しますか。
（例）各組に並んでいる数の個数と各組の最後の数に注目します。
③ 各組の最後の数を求める場合、どのようなことを考えますか。
（例）その数が数列全体で初めから何番目かを考えます。
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