【群数列】等差数列や分数をグループ分け!中学受験算数の難問に挑戦

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みみずく戦略室
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分数の群数列にチャレンジしよう

例題2あるきまりにしたがって、下のように数を並べました。

\(1、\frac{1}{2}、\frac{1}{2}、\frac{1}{3}、\frac{1}{3}、\frac{1}{3}、\frac{1}{4}、\frac{1}{4}、\frac{1}{4}、\frac{1}{4}、\frac{1}{5}、…\)

これについて、次の問いに答えなさい。

(1) 最初に出てくる\(\frac{1}{13}\)は、1番目から数えて何番目にありますか。

(2) 1番目から数えて108番目の数を求めなさい。

(3) 1番目から108番目までの数の和を求めなさい。

例題2の数列はグループ分けされていません。しかし、1が1個、1/2が2個、1/3が3個…という規則性があるので、次のようにグループ分けするといいでしょう。

\(1 | \frac{1}{2}、\frac{1}{2} | \frac{1}{3}、\frac{1}{3}、\frac{1}{3} | \frac{1}{4}、\frac{1}{4}、\frac{1}{4}、\frac{1}{4} | \frac{1}{5}、…\)

1のグループを1組、\(\frac{1}{2}\)のグループを2組、\(\frac{1}{3}\)のグループを3組、…としていきます。n組には、\(\frac{1}{n}\)がn個並んでいます。

(1)の解答

各組に並んでいる数の個数は、1組に1個、2組に2個、3組に3個、…、12組に12個です。1組から12組までの個数の和は、等差数列の和の公式を使って、1+2+3+…12=(1+12)×12÷2=78です。したがって、最初に出てくる\(\frac{1}{13}\)は79番目にあります。

【群数列】等差数列や分数をグループ分け!中学受験算数の難問に挑戦

(2)の解答

108番目の数が何組にあるのかを求めます。

108番目の数がある組の前の組を□組とします。1組から□組までに並んでいる数の個数の和は(1+□)×□÷2です。この和が108に最も近い値になる□を求めます。

(1+□)×□÷2=108

(1+□)×□=108×2=216

1+□を□にして□×□=216を考える。

14×14=196、15×15=225なので□=14と見当をつける。

(1+14)×14÷2=105<108

計算結果から、1組から14組までに並んでいる数の個数の和は105個です。108番目の数は15組の3番目にあるので\(\underline{\frac{1}{15}}\)が答です。

(3)の解答

1組の数の和は1、2組の数の和は\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)=1、3組の数の和は\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\)=1、…なので、各組の数の和はすべて1です。

1組から14組までの数の和は1×14=14です。

15組には106番目、107番目、108番目の数が並んでいるので、これらの和は\(\frac{1}{15}×3=\frac{1}{5}\)です。

したがって、1番目から108番目までの数の和は\(\underline{14\frac{1}{5}}\)です。

【群数列】等差数列や分数をグループ分け!中学受験算数の難問に挑戦

数美
1組から3組の数の和をそれぞれ計算してみたら、すべて1になったわ。手を動かしていくつか計算してみると、何をすればいいかがわかるのよ。

群数列で他の受験生と差をつけよう

群数列では、何をすべきかを理解していないと、手も足も出なくなります。どんな群数列の問題でも、各組に並んでいる数の個数と各組の最後の数に注目することが大切です。

また、計算がゴチャゴチャしがちなので、途中計算や図などをしっかり書くといった、ミスをしないようにする工夫も求められます。

群数列を確実に解けるようになれば、他の受験生と差をつけられるはずです。

■チェック■次の質問に答えましょう。(解答例は最後のページにあります)

① 群数列とはどのような数列ですか。

② 群数列の問題では何に注目しますか。

③ 各組の最後の数を求める場合、どのようなことを考えますか。

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