問題演習コーナー
【問題】あるきまりにしたがって、下のように分数を並べました。
\(\frac{1}{1}\)、\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{2}{2}\)、\(\frac{1}{3}\)、\(\frac{2}{3}\)、\(\frac{3}{3}\)、\(\frac{1}{4}\)、\(\frac{2}{4}\)、\(\frac{3}{4}\)、\(\frac{4}{4}\)、\(\frac{1}{5}\)、…
これについて、次の問いに答えなさい。
(1) 1番目から数えて70番目の分数を求めなさい。
(2) 1番目から50番目までの分数の和を求めなさい。
分母によって次のようにグループ分けし、左から1組、2組、3組…としていきます。
各組に並んでいる分数の個数は、1組に1個、2組に2個、3組に3個、…です。n組に並んでいるn個の分数は、\(\frac{1}{n}\)、\(\frac{2}{n}\)、\(\frac{3}{n}\)、…、\(\frac{n}{n}\)です。
(1)の解答（1番目から数えて70番目の分数を求める）
70番目の数が何組にあるのかを求めます。
70番目の数がある組の前の組を□組とします。1組から□組までに並んでいる数の個数の和は（1＋□）×□÷2です。この和が70に最も近い値になる□を求めます。
（1＋□）×□÷2＝70
（1＋□）×□＝70×2＝140
1＋□を□にして□×□＝140を考える。
11×11＝121、12×12＝144なので□＝11と見当をつける。
（1＋11）×11÷2＝66＜70
計算結果から、1組から11組までに並んでいる数の個数の和は66個です。70番目の数は12組の4番目にあるので\(\underline{\frac{4}{12}}\)が答です。（約分して\(\frac{1}{3}\)にすると4番目の数になるので、約分してはいけません）
(2)の解答（1番目から50番目までの分数の和を求める）
50番目の数が何組にあるのかを求めます。
50番目の数がある組の前の組を□組とします。1組から□組までに並んでいる数の個数の和は（1＋□）×□÷2です。この和が50に最も近い値になる□を求めます。
（1＋□）×□÷2＝50
（1＋□）×□＝50×2＝100
1＋□を□にして□×□＝100を考える。
9×9＝81、10×10＝100なので□＝9と見当をつける。
（1＋9）×9÷2＝45＜50
計算結果から、1組から9組までに並んでいる数の個数の和は45個です。50番目の数は10組の5番目にあるので\(\frac{5}{10}\)です。
1組の数の和は１、2組の数の和は\(\frac{1}{2}\)＋\(\frac{2}{2}\)＝1\(\frac{1}{2}\)、3組の数の和は\(\frac{1}{3}\)＋\(\frac{2}{3}\)＋\(\frac{3}{3}\)＝2、4組の数の和は\(\frac{1}{4}\)＋\(\frac{2}{4}\)＋\(\frac{3}{4}\)＋\(\frac{4}{4}\)＝2\(\frac{1}{2}\)、…なので、1組から9組までの数の和は次のような数列になります。
これらの和に\(\frac{1}{10}\)～\(\frac{5}{10}\)を足して、（1＋2＋3＋4）×2＋\(\frac{1}{2}\)×4＋5＋\(\frac{1}{10}\)＋\(\frac{2}{10}\)＋\(\frac{3}{10}\)＋\(\frac{4}{10}\)＋\(\frac{5}{10}\)＝\(\underline{28\frac{1}{2}}\)が答です。
① 群数列とはどのような数列ですか。
（例）数列をあるきまりにしたがってグループ分けした数列です。
② 群数列の問題では何に注目しますか。
（例）各組に並んでいる数の個数と各組の最後の数に注目します。
③ 各組の最後の数を求める場合、どのようなことを考えますか。
（例）その数が数列全体で初めから何番目かを考えます。
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コメント
≪…群数列…≫を、カタチで分けて公式を観るのをミッケ・・・
1²+2²+3²+⋯+n²
＝（1/6）n(n+1)(2n+1)
［ 『HHNI眺望』とは、4つの視座から観ようとするコト。
［H］ ヒユーリスティック（ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ）
ヒューリスティック（heuristic、Heuristik）または発見的（手法） とは、必ずしも正しい答えを導けるとは限らないが、ある程度のレベルで正解に近い解を得ることができる方法である。
［Ｈ］ ホリスティック（ｈｏｌｉｓｔｉｃ）
ホリスティック（Holistic）とは、ギリシャ語のholosを語源とし、全体・関連・つながり・バランスなどと訳されています。 ホリスティック医学では、身体だけでなく、目に見えない心や霊性を含めた＜Body – Mind – Spirit＞のつながりや、「環境」まで含めた全体的な視点で健康を考えます。 （ホリスティック自然数）
［Ｎ］ ネスティング（ｎｅｓｔｉｎｇ）
【入れ子 / ネスティング】とは、あるものの中に、それと同じ形や種類の(一回り小さい)ものが入っている状態や構造のこと。
［Ｉ］ インターラクト（ｉｎｔｅｒａｃｔ）
「interact」は「相互に作用する」「交流する」「相互に影響し合う」という意味 ］
この光景が、［ヒト］の誕生から、
母の日に臍を観つめてヒフミヨに
なり、
自然数のあるところ（ｎ）までの［2乗の和］（▢さん）を、△さん（ｎにする）と円（〇）を創っている正六角形と正三角形（△さん）とを［掛け算］の［ 【入れ子 / ネスティング】 ］に観る。
［自然数の2乗］（ｎ）を［△さん］とすると、次の［自然数の2乗］との和は、［凧形］（ ｎ（ｎ＋1） ）に、この［凧形］（2ｎ）の2個に［凧形］の1個分の［光景］（2ｎ＋1）に観える。
この［風景］が、［円］（〇）と［正三角形］（△）の６個とのインタラクト（ ［ 「interact」は「相互に作用する」］ ）と観る。
平方（2乗）で観る、数の言葉ヒフミヨ（1234）の自然数は、△さんの遍歴の姿が（ ｎ（ｎ＋1）（2ｎ＋1） ）で、［円］（〇）の一周という［1］の行為を［△］の［部分］の一周を［△］の６個で［全体］とすれば、［自然数のｎまでの平方（2乗）の和］は、［全体］の［一周という行為］の［1/6］として［全体］を［部分］で［単位化］（割るという行為）に観える。
ヒフミヨの〇の眺めは△に
割るコトは単位を創るヒフミヨに
√6意味知ってると舌安泰