【群数列】等差数列や分数をグループ分け!中学受験算数の難問に挑戦

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みみずく戦略室

中学受験算数で多くの受験生が苦手とする難問が群数列です。群数列とは、数列をあるきまりにしたがってグループ分けした数列です。

たとえば、2、4、6、8、10、12、14、…は、初めの数が2、加える数が2の等差数列です。この等差数列を2|4、6|8、10、12|14、…のように|で区切っていくと群数列になります。

今回は、群数列の問題で、何に注目して、どのように考えていけばいいのかを解説します。

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等差数列が群数列になったらどうする?

例題1奇数を1から順に並べ、あるきまりにしたがって区切り、左から順に1組、2組、3組……とします。たとえば、7は3組の1番目の数で、15は4組の2番目の数です。

1|3、5|7、9、11|13、15、17、19|21、23、…

これについて、次の問いに答えなさい。

(1) 11組の11番目の数はいくつですか。

(2) 12組に並んでいる数の和はいくらですか。

奇数の列(初めの数が1、加える数が2等差数列)が群数列になったのが例題1です。このような群数列は、次の2つに注目しましょう。

各組に並んでいる数の個数

各組の最後の数

各組に並んでいる数の個数に注目しよう

まずは①から考えます。例題1では、各組に並んでいる数の個数は次の通りです。

1組 … 1の1

2組 … 3、5の2

3組 … 7、9、11の3

4組 … 13、15、17、19の4

このように書き出してみると、問題文の「あるきまり」が「各組に並んでいる数の個数が、1、2、3、4……という等差数列になっている」ことだとわかります。

例題1に限らず、群数列の問題では、各組に並んでいる数の個数も規則性のある数列になっています。このことをしっかり理解しましょう。

各組の最後の数に注目しよう

次に②を考えます。

例題1の(1)は「11組の11番目の数」すなわち「11組の最後の数」を求める問題なので、解いてしまいましょう。

各組の最後の数を求める場合、その数が数列全体で初めから何番目かを考えます。このとき、各組に並んでいる数の個数の和を利用します。

たとえば、例題1では、3組の最後の数である11は、数列全体では6番目の数です。この「6番目」は、1組と2組と3組に並んでいる数の個数の和1+2+3=6です。

同じように考えると、5は、1+2=3より、数列全体では3番目の数です。19は、1+2+3+4=10より、数列全体では10番目の数です。

さらに、「11組の11番目の数」すなわち「11組の最後の数」は、1+2+3+…+11=(1+11)×11÷2=66より、数列全体では66番目の数です。したがって、1+2×(66-1)=131が(1)の答です。

形太
1+2+3+…+11=(1+11)×11÷2=66は、等差数列の和の公式を使ったんだね。1+2×(66-1)=131は、等差数列のn番目の数を求める公式だよ。

みみずく
等差数列の公式については、「【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる」で確認してください。

ある組に並んでいる数の和を求めよう

(2)は、12組に並んでいる数の和を求める問題です。この問題では、12組に並んでいる数の個数、12組の最初の数と最後の数が必要です。

12組に並んでいる数の個数は12個です。

12組の最初の数は、(1)で求めた数に2を足せばいいので133です。

12組の最後の数は、133に2を11回足せばいいので、133+2×11=155です。

等差数列の和の公式を使って、(133+155)×12÷2=1728が(2)の答です。

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