【順列】異なるものを並べる場合の数は樹形図や積の法則で求めよう

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【順列】異なるものを並べる場合の数は樹形図や積の法則で求めよう

ある事柄の起こり方全てを数え上げるのが「場合の数」です。その中でも、並び順を考える場合の数を「順列」といいます。今回は、異なるものを並べる順列の考え方について解説します。

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順列の問題を解いてみよう

例題1、2、3、4、5の書かれた5枚のカードがあります。この5枚の中から3枚を選んで3けたの整数を作るとき、何通りの整数ができますか。

地道に数え上げる解き方と計算で答を求める解き方のそれぞれ考えてみましょう。

樹形図を描いて数え上げよう

まずは、地道に数え上げる解き方からです。

この解き方では、図や表などを使って、全ての場合を抜け漏れなく書き上げることが大切です。ここで役立つのが、全ての場合を枝分かれで描いた樹形図です。少し大変ですが、例題の樹形図は次の通りです。左から百の位、十の位、一の位としました。

【順列】異なるものを並べる場合の数は樹形図や積の法則で求めよう

樹形図は、右側に枝が開いていくように描きます。

【順列】異なるものを並べる場合の数は樹形図や積の法則で求めよう

上の図では、1――2――3の枝は「123」で、1――5――4の枝は「154」です。

樹形図で場合の数を数える場合は、枝のいちばん右端(赤い枠で囲った部分)を数えます。今回の問題の答は、12×5=60(通り)です。

1で始まる樹形図を1つ描いた後、「同じ形のものが他に4つ描ける」と考えて12×5と考えてもいいでしょう。樹形図を全て描かなくても答は求められます。

さて、樹形図を描く場合に注意点があります。次の【良い例】と【悪い例】を見比べてみましょう。

【順列】異なるものを並べる場合の数は樹形図や積の法則で求めよう

みみずく
【良い例】と【悪い例1】はどこが違うかな?
数美
【良い例】は、上から下に、それから左から右に数字が大きくなっています。でも、【悪い例1】は、数字の並び方がメチャクチャです。
みみずく
その通り!樹形図を描くときは、自分なりにルールを決めて並べるといいよ。数字ならば、「上→下と左→右の方向に小さい順で並べる」と決めておくと、数字が抜けたり同じ数字を何回も書いたりするのを防げるんだ。じゃあ、【悪い例2】は、どこがよくないかな?
形太
数字が縦にそろっていないところですか?【良い例】と比べると、図が汚いです。
みみずく
そうだね。樹形図は、縦に整然とそろえて書くことが大切だよ。縦にそろっていれば、パッと見で「ここはおかしい!」と気づけるからね。

樹形図を描くときは、自分なりにルールを決めて規則的に描くことと、縦や横に数字などをそろえることを意識しましょう。こうしたていねいさは、式の書き方や図形のとらえ方など、算数の他の部分でも大切になってきます。

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