【重複組合せ】同じものを何人かで分ける場合の数は何通りあるか?

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【重複組合せ】同じものを何人かで分ける場合の数は何通りあるか?

同じものを何個でも取り出せる組合せを「重複組合せ」(「重複」は「ちょうふく」「じゅうふく」と読みます)といいます。これは、同じものを何人かで分けるときの場合の数を求めるときに使う考え方です。今回は、多くの中学受験生が苦手とする重複組合せについて、さまざまな解き方を紹介します。

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1人1枚は必ずメダルをもらえる問題

例題1同じ種類のメダル5枚を太郎君、次郎君、三郎君の3人で分けます。1人1枚は必ずもらえるとして、分け方は何通りありますか。

この問題が重複組合せの問題です。解き方は大きく分けて2種類あるので、1つずつ見ていきましょう。

【解き方1】地道に分け方を数え上げる解き方

1つめは、地道に分け方を数え上げる解き方です。

1人1枚は必ずもらえる場合は、最初に1人1枚ずつメダルを分けてしまうのがコツです。こうすると、残っているメダルが2枚だけになります。この2枚の分け方を考えると、1人が2枚もらって他の2人は0枚になる(2、0、0)と、2人が1枚ずつもらって他の1人は0枚になる(1、1、0)です。

(2、0、0)のとき、2枚もらえる人は太郎君、次郎君、三郎君の3通りです。

(1、1、0)のとき、0枚の人は太郎君、次郎君、三郎君の3通りです。

(2、0、0)と(1、1、0)は同時に起こらないので、和の法則より3+3=6(通り)が答です。

【解き方2】仕切りを入れて分ける解き方

2つめは、仕切りを入れて分ける解き方です。

まずは5枚のメダルを○として横1列に並べます。そして、○と○の間に仕切りの|を2本入れて、○を3つに分けます。3つに分けた○を、左から太郎君、次郎君、三郎君のそれぞれのメダルとします。太郎君、次郎君、三郎君の並び順をこのように固定するのがポイントです。具体的には、次のように分けます。

○|○○|○○ → 太郎君1枚、次郎君2枚、三郎君2枚

○○○|○|○ → 太郎君3枚、次郎君1枚、三郎君1枚

ただし、次の分け方は認められません。なぜなら、メダルを1枚ももらえない人がいるからです。

|○○○|○○ → 太郎君0枚、次郎君3枚、三郎君2枚

○||○○○○ → 太郎君1枚、次郎君0枚、三郎君4枚

このような分け方にならないように仕切りを入れるためには、下の図の■から2か所を選んで仕切りを入れればよいことがわかります。

○■○■○■○■○

4つの■の中から2つを選ぶ組合せ(順列ではありません)なので、(4×3)÷(2×1)=6(通り)が答です。

形太
太郎君、次郎君、三郎君の並び順を固定するのはどうしてですか?
みみずく
もし固定しないと、(太郎君3枚、次郎君1枚、三郎君1枚)と(次郎君1枚、太郎君3枚、三郎君1枚)が出てきて、同じものをダブって数えることになるからだよ。
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