【場合の数】同じものを何人かで分ける！重複組合せは何通りあるか？

問題演習コーナー

【問題】赤玉、白玉、青玉、黒玉がたくさんあります。この中から6個を選ぶとき、次の問いに答えましょう。

(1) どの色の玉も必ず1個は選ぶとすると、選び方は何通りありますか。

(2) 選ばない色があってもよいとすると、選び方は何通りありますか。

一見すると分かりにくいですが、この問題も例題1や例題2と同じ重複組合せの問題です。

例題の「太郎君、次郎君、三郎君の3人」に当たるのが「赤玉、白玉、青玉、黒玉の4色」です。また、例題の「同じ種類のメダル5枚」に当たるのが「玉を6個選ぶ」です。

この対応関係を理解できないと解けなくなります。

最初にそれぞれの色の玉を1個ずつ選んでしまう（4個選んだことになります）と、後は2個の玉を選べばよいことになります。この2個の選び方は（2、0、0、0）と（1、1、0、0）の2通りです。

（2、0、0、0）のとき、2個選ぶことになるのは赤玉、白玉、青玉、黒玉の4通りです。

（1、1、0、0）のとき、4色の中から2色を選ぶ組合せなので、（4×3）÷（2×1）＝6（通り）です。

（2、0、0、0）と（1、1、0、0）は同時に起こらないので、和の法則より4＋6＝10（通り）が答です。

○と○の間に仕切りの｜を3本入れて、4つに分けた○を、左から赤玉、白玉、青玉、黒玉とします。必ず1個は○が入るようにするには、下の図の■から3か所を選んで仕切りを入れます。

○■○■○■○■○■○

5つの■の中から3つを選んで仕切りにする組合せなので、（5×4×3）÷（3×2×1）＝10（通り）が答です。

最初にそれぞれの色の玉を1個ずつ選んでしまい、残りの2個と仕切り3本を5つの○にして横に並べます。

○○○○○

5つの○の中から3つを選んで仕切りにする組合せなので、（5×4×3）÷（3×2×1）＝10（通り）が答です。

選ばない色がある分け方は、（6、0、0、0）（5、1、0、0）（4、2、0、0）（4、1、1、0）（3、3、0、0）（3、2、1、0）（2、2、2、0）です。

（6、0、0、0）と（2、2、2、0）のとき、それぞれ4通りなので、4×2＝8（通り）です。

（5、1、0、0）（4、2、0、0）（4、1、1、0）のとき、それぞれ4つから2つ選んで並べる順列4×3＝12（通り）なので、12×3＝36（通り）です。

（3、3、0、0）のとき、4つから2つ選ぶ組合せなので（4×3）÷（2×１）＝6（通り）です。

（3、2、1、0）のとき、4つを並べる順列なので4×3×2×1＝24（通り）です。

それぞれは同時に起こらないので、和の法則より8＋36＋6＋24＝74（通り）です。これに、(1)の答を足して74＋10＝84（通り）です。

6個の玉と3本の仕切りを合わせた9つを全て○にします。

○○○○○○○○○

9つの○の中から3つを選んで仕切りにする組合せなので、（9×8×7）÷（3×2×1）＝84（通り）が答です。

① 同じものを何人かで分ける場合の数の問題では、数え上げる解き方以外にどのような解き方がありますか。

（例）仕切りを入れて分ける解き方があります。

② 同じもの5つを3人で分ける場合の数を考えます。1人1つは必ずもらえるときと、1つももらえない人がいてもよいときとでは、仕切りを入れる解き方にどのような違いがありますか。

（例）1人1つは必ずもらえるときは、○と○の間の4か所から2か所を選んで仕切りにします。一方、1つももらえない人がいてもよいときは、7つの○の中から2つを選んで仕切りにします。

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