重複組み合わせをわかりやすく解説!公式を使えない問題も攻略しよう

みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記数学

x+y+z=●を満たす整数(x,y,z)の組みの個数は?

先日、生徒から質問された数学の問題を解説します。

x+y+z=9 (x≧0,y≧0,z≧0)を満たす整数(x,y,z)の組みの個数は何組あるか。また、x+y+z=9 (x≧1,y≧1,z≧1)を満たす整数(x,y,z)の組みの個数は何組あるか。

整数分野の問題に見えますが、れっきとした順列・組合せの問題です。

生徒の持っていた問題集では、この問題を重複組合せの公式nHrで処理していました。この公式を知らない生徒は、「どうしてこうなるんですか?」と悩んでいました。

重複組合せの公式

重複組合せの公式は、一般的に次のように表されます。

異なるn個のものから重複を許してr個のものを取り出す場合の数は nHr=n+r-1Cr

「重複」とは、同じものを何回も選ぶことです。たとえば、A,B,C,D,Eの5文字から3文字を選んで文字列を作るとします。重複NGの場合、AABやAAAを作れません。Aを一回しか使えないからです。一方、重複OKの場合、AABやAAAも作れます。Aを何回使ってもいいんですね。

「重複」は、国語の授業では「ちょうふく」と読みますが、数学だと「じゅうふく」と読む場合があります。「ちょうふく」も「じゅうふく」も同じなので、混乱しないでくださいね。

公式を使わないで考えるには?

重複組合せの公式は、証明がめんどくさい上に、どの場面に適用できるのかが分かりにくいという欠点もあります。

順列・組合せの問題では、訳も分からずに公式を振り回すと撃沈します。公式に頼るよりも、図や表などを描きながら考える方が賢明です。

「また」の前~整数に0を含む場合~

冒頭の問題を「また」の前後で分けて、「また」の前から考えていきましょう。

x+y+z=9 (x≧0,y≧0,z≧0)を満たす整数(x,y,z)の組みの個数は何組あるか。

同じものを含む順列

(x≧0,y≧0,z≧0)は、整数x,y,zに0を含む、という意味です。この場合、9個の同じものの間に2個の仕切りを入れる、と考えます。絵に表すと次の通りです。

(1) ○○|○○○○|○○○
一列に並べた9個の○の間に2個の仕切り(|)を入れます。そして、○の数を左から順にx,y,zとしてします。(1)の絵だとx=2,y=4,z=3ですね。

他にも、次のような絵を描けます。

(2) ○○○○||○○○○○

(3) ||○○○○○○○○○

(2)と(3)は仕切り(|)が連続して2つ並んでいます。この場合は次のように考えましょう。

(2) → x=4,y=0,z=5

(3) → x=0,y=0,z=9

x,y,zが0でもOKなので、仕切り(|)が連続しても構わないのです。

では、(1)~(3)の絵をまとめて式で表すとどうなるでしょうか?

9個の○と2個の仕切り(|)をそれぞれ同じものと考えて、同じものを含む順列の公式を適用します。同じものを含む順列の公式は次の通りです。

n個のもののうち、p個は同じもの、q個は別の同じもの、r個はまた別の同じもの、……であるとき、これらn個のものを1列に並べる順列の総数は、

\(\frac{n!}{p!q!r!…}\) ただし p+q+r+…=n

この公式は、高校数学の教科書に載っています。公式に当てはめます。

\(\frac{11!}{9!2!}\)=\(\frac{11×10}{2×1}\)=55 答、55通り

※11!と9!で約分しました。

11個から2個を選ぶ組合せ

同じものを含む順列の公式が怪しい生徒は、別の解法で問題を処理します。

まずは、次のように11個の□を考えます。

□□□□□□□□□□□

この□の2ヶ所を仕切り(|)とし、仕切り(|)以外の9ヶ所を○と考えます。

そうすると、上記の(1)~(3)と同じ絵を描けます。つまり、11個の□から2個を選ぶ組合せと考えます。これを式で表すと次の通りです。

11C2 =\(\frac{11×10}{2×1}\)=55 答、55通り

同じものを含む順列の解法と同じ結果が出てくることを確認してください!

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