【場合の数】じゃんけんの手の出し方は何通り?勝敗やあいこを考える

【場合の数】じゃんけんの手の出し方は何通り?勝敗やあいこを考える 場合の数
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問題演習コーナー

【問題】A、B、C、D、Eの5人でじゃんけんを1回します。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1) Aが勝つ手の出し方は何通りですか。

(2) あいこになる手の出し方は何通りですか。

勝者と敗者の手の出し方(勝者、敗者)は(グー、チョキ)(チョキ、パー)(パー、グー)の3通りです。

(1) Aだけが勝つ場合とA以外に1~3人が勝つ場合をそれぞれ考えます。

① Aだけが勝つ場合は3通りです。

② A以外に1人が勝つ場合、A以外の1人をB、C、D、Eの4人から選ぶので4通りです。したがって、4×3=12通りです。

③ A以外に2人が勝つ場合、A以外の2人をB、C、D、Eの4人から選ぶのでBC、BD、BE、CD、CE、DEの6通りです。したがって、6×3=18通りです。

④ A以外に3人が勝つ場合、敗者1人をB、C、D、Eの4人から選ぶので4通りです。したがって、4×3=12通りです。

①~④より、Aが勝つ手の出し方は3+12+18+12=45(通り)です。

(2) グー・チョキ・パーのすべての手が出る場合を考えるのは大変なので、余事象を利用して「あいこになる手の出し方」=「すべての手の出し方」-「勝負が決まる手の出し方」で求めます。

すべての手の出し方は、A、B、C、D、Eの5人がそれぞれグー・チョキ・パーの3通りの手を出せるので3×3×3×3×3=243(通り)です。

勝負が決まる手の出し方を求めていきます。

① 1人が勝つ手の出し方は、(5人から1人を選ぶ組合せ)×(勝者と敗者の手の出し方)=5×3=15(通り)です。

② 2人が勝つ手の出し方は、(5人から2人を選ぶ組合せ)×(勝者と敗者の手の出し方)=10×3=30(通り)です。

数美
数美

5人から2人を選ぶ組合せは、AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DEの10通りよ。

形太
形太

5C2=\(\frac{5×4}{2×1}\)=10(通り)でも求められるね!

③ 3人が勝つ手の出し方は、②の勝者と敗者が入れ替わるだけなので30通りです。

③ 4人が勝つ手の出し方は、①の勝者と敗者が入れ替わるだけなので15通りです。

「勝負が決まる手の出し方」=「1人が勝つ手の出し方((1)の答)」+「2人が勝つ手の出し方((2)の答)」+「3人が勝つ手の出し方」+「4人が勝つ手の出し方」なので、15+30+30+15=90(通り)です。

したがって、あいこになる手の出し方は243-90=153(通り)です。

トップ画像=イラストAC

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