【場合の数】じゃんけんの手の出し方は何通り?勝敗やあいこを考える

【場合の数】じゃんけんの手の出し方は何通り?勝敗やあいこを考える 場合の数
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4人でじゃんけんをする問題を考えよう

【例題2】A、B、C、Dの4人でじゃんけんを1回します。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1) 1人が勝つ手の出し方は何通りですか。

(2) 2人が勝つ手の出し方は何通りですか。

(3) あいこになる手の出し方は何通りですか。

勝者と敗者の手の出し方(勝者、敗者)は(グー、チョキ)(チョキ、パー)(パー、グー)の3通りです。

(1) A、B、C、Dの4人から勝者を1人だけ選ぶ選び方は4通りです。

したがって、1人が勝つ手の出し方は3×4=12(通り)です。

(2) A、B、C、Dの4人から勝者を2人だけ選ぶ選び方は、AB、AC、AD、BC、BD、CDの6通りです。

したがって、2人が勝つ手の出し方は3×6=18(通り)です。

(3) あいこになる手の出し方は、4人全員の手が同じ場合とグー・チョキ・パーのすべての手が出る場合があります。

① 4人全員の手が同じ場合、グー・チョキ・パーの3通りです。

② グー・チョキ・パーのすべての手が出る場合、たとえばAとBが同じ手を出すとします。このとき、ABの手の出し方は3通り、Cの手の出し方はABの手以外の2通り、Dの手の出し方はAB、Cの手以外の1通りです。したがって、3×2×1=6(通り)です。

同じ手を出す2人の選び方は、AB、AC、AD、BC、BD、CDの6通りなので、6×6=36(通り)です。

①②より、あいこになる手の出し方は3+36=39(通り)です。

(3)を余事象で解いてみよう

(4) 余事象を利用して、「あいこになる手の出し方」=「すべての手の出し方」-「勝負が決まる手の出し方」でも求められます。

すべての手の出し方は、A、B、C、Dの4人がそれぞれグー・チョキ・パーの3通りの手を出せるので3×3×3×3=81(通り)です。

勝負が決まる手の出し方には、1人が勝つ手の出し方と2人が勝つ手の出し方と3人が勝つ手の出し方があります。

3人が勝つ手の出し方は、1人が勝つ手の出し方で勝者と敗者が入れ替わるだけなので、(1)の結果から12通りです。

「勝負が決まる手の出し方」=「1人が勝つ手の出し方((1)の答)」+「2人が勝つ手の出し方((2)の答)」+「3人が勝つ手の出し方」なので、12+18+12=42(通り)。

したがって、あいこになる手の出し方は81-42=39(通り)です。

形太
形太

n人がじゃんけんをしてk人が勝つ手の出し方は、(n人からk人を選ぶ組合せ)×(勝者と敗者の手の出し方)なので、nCk×3通りと表せるよ。

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