多くの中学生が「一次関数の利用」でつまずくのが動点問題です。
本記事では、長方形の周上を点Pが動く問題を通して、yをxの式で表すコツを紹介します。
点Pが長方形の周上を動く問題を解く
【問題】下の図は、AB＝4cm、 BC＝6cmの長方形ABCDで、点PはAを出発して毎秒2cmでA→B→C→Dの順で動く。点PがAを出発してからx秒後の△APDの面積をycm2とする。このとき、次の問いに答えなさい。
(1) 点Pが次の場合についてyをxの式で表しなさい。また、xの変域も求めなさい。
① AB上にある ② BC上にある ③ CD上にある
(2) xとyの関係をグラフに表しなさい。
(3) △APDの面積を8cm2となるのは、点PがAを出発してから何秒後か。
【問題】では、点Pの速さが毎秒2cmなので、Aを出発してからx秒後に点Pは2×x＝2x（cm）動いたことになります。これは「速さ×時間＝距離」を使った結果です。
一方、点PがBと重なるのは、「距離÷速さ＝時間」より4÷2＝2（秒後）です。Cと重なるのは、（4＋6）÷2＝5（秒後）です。
このように、動点問題では速さの考え方を使います。
yをxの式で表す問題
(1)では、点Pが①～③の場合について、それぞれyをxの式で表します。xの変域も必要なので、忘れずに求めなければなりません。
点PがAB上にある場合
△APDは下の図のようになります。
AP＝2xcm、AD＝6cmより、「三角形の面積＝底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)」より△APD＝2x×6×\(\frac{1}{2}\)＝6x（cm2）なので、式はy＝6xです。
また、点Pは0秒のときAと重なっていて、4÷2＝2（秒後）にBと重なるので、xの変域は0≦x≦2です。
点PがBC上にある場合
△APDは下の図のようになります。
△APDの底辺をADとすると、点PがBC上のどこにあっても高さはABです。△APD＝6×4×\(\frac{1}{2}\)＝12（cm2）なので、式はy＝12です。
また、点Pは2秒のときBと重なっていて、（4＋6）÷2＝5（秒後）にCと重なるので、xの変域は2≦x≦5です。
点PがCD上にある場合
△APDは下の図のようになります。
間違いやすいのはDPの長さです。下の図のように辺を一直線にすると、AB＋BC＋CD＝4＋6＋4＝14（cm）です。ここからAP＝2xcmを引いてDP＝14－2x（cm）を求めます。
AP＝14－2x（cm）、AD＝6cmより、△APD＝（14－2x）×6×\(\frac{1}{2}\)＝－6x＋42（cm2）なので、式はy＝－6x＋42です。
また、点Pは5秒のときCと重なっていて、（4＋6＋4）÷2＝7（秒後）にDと重なるので、xの変域は5≦x≦7です。
xとyの関係をグラフに表す問題
(2)では、xとyの関係をグラフに表します。このとき、(1)の①～③の変域でグラフを描くと、下のようになります。
時間を求める問題
(3)では、△APDの面積を8cm2となる時間を求めます。
まずは、グラフから時間を読み取れないかを確認しましょう。下の図を見る限り、y＝8のときのxの値を読み取れません。
このような場合は計算でxの値を求めます。グラフからもわかる通り、y＝8になるのは①の場合と③の場合の2回あるので、それぞれの式にy＝8を代入します。
①の場合、y＝6xにy＝8を代入して8＝6xよりx＝\(\frac{8}{6}\)＝\(\frac{4}{3}\)です。
②の場合、y＝－6x＋42にy＝8を代入して8＝－6x＋42よりx＝\(\frac{34}{6}\)＝\(\frac{17}{3}\)です。
したがって、\(\underline{\frac{4}{3}}\)秒後と\(\underline{\frac{17}{3}}\)秒後が答えです。
グラフを描いてから式を求める
ここまでで紹介したのは、式を求めてからグラフを描く解き方です。これだと、式を間違うとグラフを描けません。
発想を転換して、グラフを描いてから式を求めてみましょう。
動点が頂点と重なる場合の座標を求める
グラフを先に描くときは、動点が頂点と重なる場合の座標を求めるのがポイントです。
それぞれの場合について、Pの移動時間xと△APDの面積yを求めます。
アの場合、Pは動いていないので、移動時間は0秒、すなわちx＝0です。また、△APDができていないので、その面積は0cm2、すなわちy＝0です。これより、座標は（0、0）です。
イの場合、PはAB＝4cmを動いたので、移動時間は4÷2＝2（秒）、すなわちx＝2です。また、△APDの面積は4×6×\(\frac{1}{2}\)＝12（cm2）、すなわちy＝12です。これより、座標は（2、12）です。
ウの場合、PはAB＋BC＝10cmを動いたので、移動時間は10÷2＝5（秒）、すなわちx＝5です。また、△APDの面積は4×6×\(\frac{1}{2}\)＝12（cm2）、すなわちy＝12です。これより、座標は（5、12）です。
エの場合、PはAB＋BC＋CD＝14cmを動いたので、移動時間は14÷2＝7（秒）、すなわちx＝7です。また、△APDができていないので、その面積は0cm2、すなわちy＝0です。これより、座標は（7、0）です。
点を打ってグラフを描く
まず、ア（0、0）、イ（2、12）、ウ（5、12）、エ（7、0）の各点を打ちます。
次に、ア～エの点を結びます。動点が1つで、その動点の速さが一定のときは、点と点を直線で結びましょう。曲線や折れ線になることありません。
先に(2)が終わりました。
グラフから式を求める
ア～イ、イ～ウ、ウ～エの3か所で直線の式をそれぞれ求めます。
ア～イでは、xの増加量が2のときyの増加量が12なので、直線の傾き（変化の割合）は\(\frac{12}{2}\)＝6です。直線は原点を通るので切片は0となり、直線の式はy＝6xです。xの変域はグラフから0≦x≦2と読み取れます。
イ～ウでは、yが12からずっと変わりません。したがって、直線の式はy＝12です。xの変域はグラフから2≦x≦5と読み取れます。
ウ～エでは、xの増加量が2のときyの増加量が－12なので、直線の傾き（変化の割合）は\(\frac{－12}{2}\)＝－6です。直線の切片をbとして、直線の式はy＝－6x＋bと表せます。これがエ（7、0）を通るので、0＝－6×7＋bよりb＝42となり、直線の式はy＝－6x＋42です。xの変域はグラフから5≦x≦7と読み取れます。
以上より、(1)の式とxの変域は① y＝6x（0≦x≦2）、② y＝12（2≦x≦5）、③ y＝－6x＋42（5≦x≦7）です。
(3)の解き方は上と同じなので省略します。
関数の問題はグラフを描いて考える
一次関数や二次関数などの問題では、グラフを描いて考えることが大切です。本記事で紹介した動点問題のように、いくつかの座標を求めてから、「これらの点を通るグラフはどうなるのだろう？」と考えてみるのもよいでしょう。
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