【速さと比】ダイヤグラムで旅人算を図形的に考える(応用編)

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みみずく戦略室

過去記事では、旅人算や「速さと比」の問題でダイヤグラムを使う解法について解説しました。

>>復習:【速さと比】ダイヤグラムで旅人算を図形的に考える(基本編)

本記事では、以下の応用問題を題材にして、「ダイヤグラムをどう使うか?」をさらに深めたいと思います。

下図のように、池を一周する道があります。この道のA地点から太郎君が、B地点から花子さんが、矢印の方向に向かって同時に歩き始めました。太郎君は出発してから6分後に初めて花子さんと出会い、その4分後にB地点を通過しました。さらに、A地点の少し手前で再び花子さんと出会い、その2分後にA地点に戻ってきました。太郎君と花子さんの歩く速さはそれぞれ一定であるとして、次の問いに答えなさい。

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(1) 太郎君と花子さんの歩く速さの比を求めなさい。

(2) 太郎君がこの池を一周する時間は何分ですか。

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ダイヤグラムを描く

この問題では、円(池の絵)を描いて考えてもいいのですが、時間が絡んでくるのでゴチャゴチャして訳が分からなくなります。混乱を防ぐためにも、ダイヤグラムを描いて情報整理したいところです。

というわけで、早速ダイヤグラムを描いてみましょう。

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池の周りをグルグル回る問題では、グラフの上端に到達した場合は下端に、下端に到達した場合は上端にワープさせるのがポイントです。また、速さが一定で同じ向きに進む人のグラフは全て平行になります。

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問題文中の「6分後」「4分後」という数値から、太郎君のグラフの傾きが花子さんのグラフの傾きよりも急であることが分かります。このことをダイヤグラムに正しく反映させないと、自分の描いたダイヤグラムが原因で混乱します。

三角形に注目する

(1)を解きましょう。

速さの比を考える場合、道のりや時間で一定のものを探します。道のりが一定ならば、時間の比と速さの比は逆比の関係です。一方、時間が一定ならば、道のりの比と速さの比は等しくなります。

一定のものを探す場合、ダイヤグラムで三角形に注目するのがコツです。(1)では、以下に示した赤い三角形に注目します。

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この三角形から、同じ道のりを歩く2人の時間の比は、太郎君:花子さん=4分:6分=2:3であることが読み取れます。したがって、道のりが一定なので、時間の比と速さの比は逆比の関係となり、2人の速さの比は、太郎君:花子さん=3:2です。

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ダイヤグラムから情報を読み取る

(2)も解いてみましょう。

太郎君が池を一周する時間を求めるためには、下図の□分と△分が必要です。そのために、左下の赤い三角形と、右上の青い三角形に注目します。

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どちらの三角形も道のりが一定なので、時間の比と速さの比は逆比の関係です。(1)の結果をもとに速さの比を書き込み、その逆比から□分と△分を求めます。

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得られた情報をダイヤグラムに書き込むと、太郎君が池を一周する時間も簡単に求められます。上図より、太郎君が池を一周する時間は、6+9+3+2=20(分)です。

ダイヤグラムと仲良くなる

上位校受験で威力を発揮するダイヤグラムですが、ここ最近は、中堅校の入試でもしばしば目にします。中堅校の入試では、ダイヤグラムが与えられますし、問題自体も平易な場合がほとんどです。

しかし、普段からダイヤグラムに慣れていないと、ダイヤグラムを見た瞬間に「無理!」と思考停止してしまいます。そうならないためにも、中学受験生には、ダイヤグラムと仲良くなってもらいたいと思います。

トップ画像=Pixabay

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