【群数列】等差数列や分数をグループ分け!中学受験算数の難問に挑戦

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みみずく戦略室
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問題演習コーナー

問題あるきまりにしたがって、下のように分数を並べました。

\(\frac{1}{1}、\frac{1}{2}、\frac{2}{2}、\frac{1}{3}、\frac{2}{3}、\frac{3}{3}、\frac{1}{4}、\frac{2}{4}、\frac{3}{4}、\frac{4}{4}、\frac{1}{5}、…\)

これについて、次の問いに答えなさい。

(1) 1番目から数えて70番目の分数を求めなさい。

(2) 1番目から50番目までの分数の和を求めなさい。

分母によって次のようにグループ分けし、左から1組、2組、3組…としていきます。

\(\frac{1}{1} | \frac{1}{2}、\frac{2}{2} | \frac{1}{3}、\frac{2}{3}、\frac{3}{3} | \frac{1}{4}、\frac{2}{4}、\frac{3}{4}、\frac{4}{4} | \frac{1}{5}、…\)

各組に並んでいる分数の個数は、1組に1個、2組に2個、3組に3個、…です。n組に並んでいるn個の分数は、\(\frac{1}{n}、\frac{2}{n}、\frac{3}{n}、…、\frac{n}{n}\)です。

(1)の解答

70番目の数が何組にあるのかを求めます。

70番目の数がある組の前の組を□組とします。1組から□組までに並んでいる数の個数の和は(1+□)×□÷2です。この和が70に最も近い値になる□を求めます。

(1+□)×□÷2=70

(1+□)×□=70×2=140

1+□を□にして□×□=140を考える。

11×11=121、12×12=144なので□=11と見当をつける。

(1+11)×11÷2=66<70

計算結果から、1組から11組までに並んでいる数の個数の和は66個です。70番目の数は12組の4番目にあるので\(\underline{\frac{4}{12}}\)が答です。(約分して\(\frac{1}{3}\)にすると4番目の数になるので、約分してはいけません)

(2)の解答

50番目の数が何組にあるのかを求めます。

50番目の数がある組の前の組を□組とします。1組から□組までに並んでいる数の個数の和は(1+□)×□÷2です。この和が50に最も近い値になる□を求めます。

(1+□)×□÷2=50

(1+□)×□=50×2=100

1+□を□にして□×□=100を考える。

9×9=81、10×10=100なので□=9と見当をつける。

(1+9)×9÷2=45<50

計算結果から、1組から9組までに並んでいる数の個数の和は45個です。50番目の数は10組の5番目にあるので\(\frac{5}{10}\)です。

1組の数の和は1、2組の数の和は\(\frac{1}{2}+\frac{2}{2}=1\frac{1}{2}\)、3組の数の和は\(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{3}{3}=2\)、4組の数の和は\(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\frac{4}{4}=2\frac{1}{2}\)、…なので、1組から9組までの数の和は次のような数列になります。

\(1、1\frac{1}{2}、2、2\frac{1}{2}、3、3\frac{1}{2}、4、4\frac{1}{2}、5\)

これらの和に\(\frac{1}{10}~\frac{5}{10}\)を足して、\((1+2+3+4)×2+\frac{1}{2}×4+5+\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+\frac{3}{10}+\frac{4}{10}+\frac{5}{10}=\underline{28\frac{1}{2}}\)が答です。

■チェック(解答例)■① 群数列とはどのような数列ですか。

(例)数列をあるきまりにしたがってグループ分けした数列です。

② 群数列の問題では何に注目しますか。

(例)各組に並んでいる数の個数と各組の最後の数に注目します。

③ 各組の最後の数を求める場合、どのようなことを考えますか。

(例)その数が数列全体で初めから何番目かを考えます。

トップ画像=Pixabay

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