重複組み合わせをわかりやすく解説!公式を使えない問題も攻略しよう

みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記 高校数学
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「また」の後ろ~整数に0を含まない場合~

冒頭の問題の「また」の後ろを考えますよ。

また、x+y+z=9 (x≧1,y≧1,z≧1)を満たす整数(x,y,z)の組みの個数は何組あるか。

整数に0を含まないと……

(x≧1,y≧1,z≧1)は、整数x,y,zに0を含まない、という意味です。「また」の前と比べたとき、次のような(x,y,z)の組みは認められません。

x=4,y=0,z=5 や x=0,y=0,z=9 など

ということは、前ページの解法を使えません!では、どう考えればいいのでしょうか?

仕切りの入り得る場所を決めておく

整数x,y,zに0を含まない場合、仕切りの入り得る場所を予め決めておきます。具体的には、次のような絵を描きます。

○A○B○C○D○E○F○G○H○

この絵のA~Hから2ヶ所を選んで仕切り(|)にします。仕切り(|)にならなかったアルファベットは、無かったものとして無視してください。あとは、左から○の数を数えればOKです。

たとえば、BとFを選べば次のようになります。

○○|○○○○|○○○ → x=2,y=4,z=3

同様に、DとEを選べば次のようになります。

○○○○|○|○○○○ → x=4,y=1,z=4

この方法で仕切り(|)を入れれば、x,y,zは必ず1以上の整数になりますよ。これを式に表わすと次の通りです。

A~Hの8個から2個を選ぶ組合せなので、

8C2 =(8×7)/(2×1)=28 答、28通り

以上で全ての問題が解けました!!

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公式に振り回されないことの大切さ

順列・組合せや確率の分野では、いくつかの重要公式が登場します。しかし、それらの公式も元を辿れば数え上げに行き着きます。数え上げの基本は、とにかく図や表を描くことです。

センター試験や二次試験の「場合の数」や「確率」では、公式を適用すれば簡単に解ける問題が減少しています。だからこそ、公式に振り回されて混乱してはいけません。問題文をきちんと理解して、読み取った情報を視覚的に図示することが大切です。

小学生でも分かるように重複組合せを解説した以下の記事も参照してください。

【重複組合せ】同じものを何人かで分ける場合の数は何通りあるか?

トップ画像=Pixabay

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