整数にはさまざまな分類があります。その中でもいちばん基本になるのが偶数と奇数です。今回は、偶数と奇数について詳しく紹介します。
偶数と奇数
0、1、2、3、4、5、…と続く整数のうち、2で割り切れる整数を偶数といいます。「2で割り切れる」とは、2で割った余りが0になるということです。0、2、4、6、…が偶数です。
一方、2で割り切れない整数を奇数といいます。奇数は、2で割ると、必ず余りが1になります。1、3、5、7、…が奇数です。
偶数の列0、2、4、6、…は、ある偶数に2を足すと次の偶数になります（たとえば、2に2を足すと4、4に2を足すと6になります）。同じように、奇数の列1、3、5、7、…も、ある奇数に2を足すと次の奇数になります。つまり、偶数の列と奇数の列は、どちらも2ずつ増えていく数列です。
偶数と奇数の和
偶数は2で割り切れる整数なので、「2の倍数」ということもできます。したがって、nを0以上の整数とすると、偶数は2×nと表されます（□の倍数は「□×整数」で表されます）。
一方、奇数は2で割ると1余るので、0以上の整数をnとすると2×n＋1と表されます。このことから、奇数は「偶数＋1」であることがわかります。
ここで、偶数や奇数を足してみましょう。まずは「偶数＋偶数」を考えます。2＋4＝6、14＋22＝36、8＋102＝110など、「偶数＋偶数＝偶数」です。このことを証明すると次の通りです。
【「偶数＋偶数＝偶数」の証明】
m、nを整数として、2つの偶数を2×m、2×nと表す。
「偶数＋偶数」は、2×m＋2×n＝2×（m＋n）
m＋nは整数なので2×（m＋n）は偶数となり、「偶数＋偶数＝偶数」である。
※ 2×m＋2×n＝2×（m＋n）は、□×△＋□×〇＝□×（△＋〇）という分配法則を使いました。
このように証明してみると、全ての偶数について「偶数＋偶数＝偶数」が成り立つことがわかります。
そもそも「証明」って何ですか？
ある事柄が正しいことを明らかにすることを「証明」というよ。中学以降の数学では「～を証明しなさい」という問題もあるんだ。
2＋4＝6、14＋22＝36、8＋102＝110などの例をたくさん出していったら、それで「偶数＋偶数＝偶数」が正しいことの証明にならないんですか？
いくらたくさん具体例を出しても、それだけでは全ての整数について「偶数＋偶数＝偶数」が成り立つかどうかは分からない。だから、どんな整数にもなれるm、nを使った式で説明するんだよ。
同じように考えて、「奇数＋奇数＝偶数」「偶数＋奇数＝奇数」です。証明が気になる受験生の皆さんは、以下を参考にしてください。
【「奇数＋奇数＝偶数」の証明】
m、nを整数として、2つの奇数を2×m＋1、2×n＋1と表す。
「奇数＋奇数」は、（2×m＋1）＋（2×n＋1）＝2×m＋2×n＋2＝2×（m＋n＋1）
m＋n＋1は整数なので2×（m＋n＋1）は偶数となり、「奇数＋奇数＝偶数」である。
【「偶数＋奇数＝奇数」の証明】
m、nを整数として、偶数を2×m、奇数を2×n＋1と表す。
「偶数＋奇数」は、2×m＋（2×n＋1）＝2×m＋2×n＋1＝2×（m＋n）＋1
m＋nは整数なので2×（m＋n）＋1は奇数となり、「偶数＋奇数＝奇数」である。
偶数と奇数の見分け方
ある整数に偶数をかけると、その結果は必ず偶数になります。
3、4、5に偶数の2をかけると、それぞれ6、8、10となります。6、8、10は全て偶数です。このことから、かけ算の結果が奇数になるのは「奇数×奇数」の場合だけだということもわかります。
ここで、2ケタ以上の整数について考えましょう。たとえば、23は2＋3ではなく、2×10＋3です。765は7×100＋6×10＋5です。つまり、2ケタ以上の整数は、「一の位の数＋十の位の数×10＋百の位の数×100＋…」と表されます。
10、100、1000、…は偶数なので、2ケタ以上の整数は、十の位より上の位が全て「整数×偶数＝偶数」になります。したがって、2ケタ以上の整数が偶数か奇数かを見分けるには、一の位を見ればよいとわかります。
一の位が偶数の整数は偶数で、一の位が奇数の整数は奇数です。345は一の位が奇数の5なので奇数ですが、5678は一の位が偶数の8なので偶数です。
偶数か奇数かを意識する
偶数や奇数が問題となることはあまりありません。しかし、算数の問題を解くときは、数字が偶数か奇数かを意識するといいでしょう。分数を約分するときや比を簡単にするときなどは、全ての数字が偶数ならば必ず2で割り切れるからです。こうした気づきがとても大切です。
次の質問に答えましょう。（解答例は最後のページにあります）
① 偶数はどのような数ですか。また、奇数はどのような数ですか。
② nを0以上の整数とすると、偶数はnを使ってどのように表されますか。また、奇数はnを使ってどのように表されますか。
③ 偶数や奇数を足すとどのような結果になりますか。
④ ある整数が偶数か奇数かを見分けるにはどうしますか。
コメント
数直線を『自然比矩形』の横辺の繋がりで観てみると、
偶数と奇数の交互に顕れるのは、数直線に隠された図形パターンで眺望する。
『へこんだながしかく』と『ちいさなふくらんださんかく』で『自然比矩形』（『ながしかく』）が創られている。
『自然比矩形』の上横辺の回転体、下横辺の回転体として数直線を観ると、
『創発カルデラ体』『創発釣り鐘体』と交互に繋がっている。
『へこんだながしかく』は、『コニーデがた』とし
『ちいさなふくらんださんかく』は、『つりがねがた』といて
帯状に進んでいく。
『自然比矩形』（『ながしかく』）の左縦辺は、加減を
右縦辺は、乗除を内在秩序を秘めたコトを、
それぞれに『コニーデがた』と『つりがねがた』に連続性を眺望したい。
自然数は、［絵本］［もろはのつるぎ］で・・・
なお 『創発釣り鐘体』（ （ｅー2）π ）の体積は、 2.25・・・ なので
２月２５日を『自然数の日』に・・・
『ＨＨＮＩ眺望』で観る自然数の絵本あり。
有田川町電子書籍 「もろはのつるぎ」
御講評をお願いします。
時間軸の数直線は、『幻のマスキングテープ』に・・・
『かおすのくにのかたなかーど』から・・・
ヒフミヨは√矩形で渦巻に
進み行く数の言葉ヒフミヨ（1234）を［四角］の『半分こ原理？』で観てみたい。
正方形の半分この対角線に1を立てて、【白銀比長方形】
【白銀比長方形】の半分この対角線に1を立てて、【白金比長方形】
【白金比長方形】の半分この対角線に1を立てて、【1×2の長方形】
【1×2の長方形】の半分この対角線に1を立てて、【1×√5の長方形】
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・・・・・・
この1を立てた点を繋ぐ渦巻を、『ヒフミヨ渦巻』と呼び、一連の長方形は、『ヒフミヨ長方形』と呼びたい。
半分この直角三角形の√の中同士の平方の理は、進み行く自然数の風景に・・・
（1）＋（ｎ）＝（ｎ＋1）
この物語の風景は、３冊の絵本で・・・
絵本「哲学してみる」
絵本「わのくにのひふみよ」
絵本「もろはのつるぎ」