相似比と底辺比から面積比を求める!基準となる三角形を探せ!

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みみずく戦略室

面積比に関する次の問題を考えましょう。

下の図において、三角形ABEと三角形CDEの面積比を求めなさい。ただし、点EはBD上にあるものとします。

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分かる情報を書き込む

面積比を求める問題では、基準となる三角形の面積を1として、他の三角形の面積を数値化していきます。そのため、どの三角形を基準とするかがポイントです。

とはいえ、今回の問題では、どの三角形を基準にすればいいのかを直ぐには判断できません。こういう場合は、分かる情報をどんどん書き込んでいきます。

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分かる情報といっても、新たに書き込めるのは角度くらいしかありません。

三角形BCDにおいて、三角形の内角の和が180°で、角D=30°、角C=90°だから、角DBC=180°-(30°+90°)=60°です。したがって、角ABE=180°-60°=120°だと分かります。

また、三角形ABEにおいて、三角形の内角の和が180°で、角EAB=30°、角ABE=120°なので、角AEB=180°-(30°+120°)=30°です。したがって、三角形ABEは、角EAB=角AEB=30°の二等辺三角形であると分かります。

相似比から面積比を求める

三角形ABEのような二等辺三角形を見つけたら、正三角形を真っ二つにした特殊な三角形(三角定規の直角二等辺三角形でない方)の存在に気付いてくださいね。

そして、正三角形を真っ二つにした特殊な三角形を炙り出すために、下図のように、BからAEに垂直な線を引きます。

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なぜこのようなことをするのかといえば、三角形BHAが、一辺の長さと角度を与えられた三角形BCDと相似になるからです。(相似条件は「2組の角がそれぞれ等しい」)

三角形BCDと三角形BHAを、向きをそろえて抜き書きしてみましょう。

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相似な三角形の面積比は相似比×相似比です。

三角形BCDと三角形BHAの相似比は、BC:BH=2:0.5=4:1なので、面積比は2×2:1×1=16:1になります。

面積比で1に当たる三角形BHAを基準にすると、三角形BHAの面積は1、三角形BCDの面積は16です。

底辺比から面積比を求める

三角形BHAと三角形BHEは合同なので、三角形BHEの面積は1です。また、三角形ABE=三角形BHA+三角形BHEより、三角形ABEの面積は2です。

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高さが共通する三角形は、底辺比=面積比になります。

三角形ABEと三角形CBEは高さが共通なので、底辺比のAB:CB=1:2が面積比になります。したがって、三角形ABEの面積は2より、三角形CBEの面積は4です。また、三角形CDE=三角形BCD-三角形CBE=16-4=12です。

以上より、三角形ABEと三角形CDEの面積比は2:12=1:6です。

基準となる三角形を探せ!

今回の問題では、基準となる三角形を探すことが大切でした。そのために補助線を引いて、正三角形を真っ二つにした特殊な三角形に着目しました。(補助線の引き方については過去記事を参照してください)

基準となる三角形さえ決まれば、後は相似比や底辺比を使って面積比を求めていくだけです。面積比の求め方はワンパターンですので、苦手な受験生は類題演習で定着させましょう。

トップ画像=Pixabay

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