都立高校入試の令和4年度の過去問から、数学の大問3（グラフと図形）を解説します。
bのとる値の範囲を求める問題
[問1]は、Pの座標（a、b）の範囲を求める問題です。変域と同じ考え方をします。
aのとる値の範囲が－4≦a≦1なので、この範囲でbがy＝\(\frac{1}{4}\)x2のグラフ上を動きます。
下の図から、bの値が一番小さくなるのは、青い矢印の一番下になるy＝0のときです。一方、bの値が一番大きくなるのは、青い矢印の一番上になるy＝\(\frac{1}{4}\)×（－4）2＝4のときです。したがって、0≦b≦4となって、①がウ、②がキです。
ちなみに、y＝\(\frac{1}{4}\)x2に－4≦a≦1の両端の値を代入して、\(\frac{1}{4}\)≦a≦4とすると間違いです。1よりも小さい0がbのとる範囲に含まれることに注意しましょう。
2点を通る直線の式を求める問題
[問2]は、2点A、Pを通る直線の式を求める問題です。
まずは、A、Pの座標を求めましょう。
Aはy＝\(\frac{1}{4}\)x2上の点で、x座標が－8です。したがって、x＝－8をy＝\(\frac{1}{4}\)x2に代入してy＝\(\frac{1}{4}\)×（－8）2＝16なので、A（－8、16）です。
同様に、Pもy＝\(\frac{1}{4}\)x2上の点で、x座標が2なので、y＝\(\frac{1}{4}\)×22＝1よりP（2、1）です。
次に、y＝ax＋bにA（－8、16）とP（2、1）の値をそれぞれ代入して、16＝－8a＋b、1＝2a＋bです。この2つの式を連立して解くとa＝－\(\frac{3}{2}\)、b＝4となるので、③がア、④がエです。
Pのx座標を求める問題
[問3]は、Pのx座標を求める問題です。
解き方は相変わらずワンパターンで、以下の記事の手順通りです。
まずは、未知の点Pのx座標（[問3]の答えとなるx座標）をtとおきます。
次に、P、Q、Rの座標をtを使って表します。
Pはy＝\(\frac{1}{4}\)x2上の点で、x座標がtなので、y＝\(\frac{1}{4}\)t2よりP（t、\(\frac{1}{4}\)t2）です。
AQはy軸に平行なので、Qのx座標はAのx座標と同じで－8です。また、PQはx軸に平行なので、Qのy座標はPのy座標と同じで\(\frac{1}{4}\)t2です。したがって、Q（－8、\(\frac{1}{4}\)t2）です。
Rの座標を求めるには、先に線分AOの式を求める必要があります。線分AOは原点を通り、傾きは\(\frac{16}{－8}\)＝－2なので、式はy＝－2xです。また、ARはx軸に平行なので、Rのy座標はPのy座標と同じで\(\frac{1}{4}\)t2です。したがって、y＝－2xにy＝\(\frac{1}{4}\)t2を代入して、x＝－\(\frac{1}{8}\)t2となりR（－\(\frac{1}{8}\)t2、\(\frac{1}{4}\)t2）です。
最後に、PRとRQをtで表して、PR：RQ＝3：1をtの式で表して計算します。
PR＝t－（－\(\frac{1}{8}\)t2）＝t＋\(\frac{1}{8}\)t2
RQ＝－\(\frac{1}{8}\)t2－（－8）＝－\(\frac{1}{8}\)t2＋8より、
（t＋\(\frac{1}{8}\)t2）：（－\(\frac{1}{8}\)t2＋8）＝3：1
t＋\(\frac{1}{8}\)t2＝3（－\(\frac{1}{8}\)t2＋8）
t＋\(\frac{1}{8}\)t2＝－\(\frac{3}{8}\)t2＋24
両辺に8をかけて、
8t＋t2＝－3t2＋192
4t2＋8t－192＝0
両辺を4で割って、
t2＋2t－48＝0
（t＋8）（t－6）＝0
0<t<8よりt＝6（[問3の答え]）
グラフと図形の問題は全問正解を狙える
大問3は例年通り、何のひねりもない簡単な問題でした。
都教委が公表している正答率は、[問1]が67.7％、[問2]が69.4％、[問3]が14.7％です。[問1]と[問2]で失点すると、他の受験生と差がついてしまいます。一方、[問3]は簡単であるにもかかわらず、正答率は15％を切っています。Rのx座標を求められなかった受験生が多いのかもしれません。
グラフと図形の問題は解法がワンパターンで計算量も少ないサービス問題です。過去10年の都立高校入試問題を徹底分析して分野別にまとめた問題集「高校入試 虎の巻
」でしっかり練習して、本番でも全問正解を狙いたいところです。
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