【場合の数】順列と組合せ、和の法則と積の法則を正しく使い分けよう

【場合の数】順列と組合せ、和の法則と積の法則を正しく使い分けよう場合の数
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「和の法則」と「積の法則」

【例題2】大小2つのサイコロを同時に1回だけ投げます。このとき、次の問いに答えましょう。

(1) 大きいサイコロで1の目が出て小さいサイコロで奇数の目が出るか、大きいサイコロで6の目が出て小さいサイコロで偶数の目が出る場合の数は何通りですか。

(2) どちらのサイコロでも奇数の目が出る場合の数は何通りですか。

(1)は、大きいサイコロで1の目が出て小さいサイコロで奇数の目が出るとき、小さいサイコロの目は1、3、5の3通りです。

また、大きいサイコロで6の目が出て小さいサイコロで偶数の目が出るとき、小さいサイコロの目は2、4、6の3通りです。

したがって、3+3=6(通り)が答です。

この問題では、大きいサイコロで1の目が出て小さいサイコロで奇数の目が出ることと大きいサイコロで6の目が出て小さいサイコロで偶数の目が出ることは同時に起こりません。このように、同時に起こらない事柄AとBについては、(AかBが起こる場合の数)=(Aが起こる場合の数)+(Bが起こる場合の数)が成り立ちます。これを和の法則といいます。

(2)では、大きいサイコロで奇数の目(1、3、5)が出るのは3通り、小さいサイコロで奇数の目(1、3、5)が出るのは3通りです。

大きいサイコロの目が1のとき、小さいサイコロの目が1か3か5で3通りです。大きいサイコロの目が3や5のときも、小さいサイコロの目は1か3か5で3通りです。

このことから、3×3=9(通り)が答です。

(2)は、(1)と違って、大きいサイコロで奇数の目が出ることと、小さいサイコロで奇数の目が出ることは、同時に起こります。このように、同時に(続けて)起こる事柄AとBについては、(AもBも起こる場合の数)=(Aが起こる場合の数)×(Bが起こる場合の数)が成り立ちます。これを積の法則といいます。

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場合の数では区別を大切にしよう

たとえば、クラスの30人から2人の学級委員を選ぶ場合、その選び方は組合せです。2人の学級委員は同じ役割なので、(太郎君、花子さん)という選び方と(花子さん、太郎君)という選び方に区別がないからです。

一方、学級委員1人と図書委員1人の計2人を選ぶ場合、その選び方は順列です。(学級委員、図書委員)とすると、(太郎君、花子さん)という選び方と(花子さん、太郎君)という選び方を区別するからです。

形太
形太

クラスの30人から3人のリレー選手を選ぶ場合、組合せでいいんですか?

みみずく
みみずく

3人のリレー選手を選ぶだけなら組合せだ。だけど、走る順番まで決めてしまうなら順列になるよ。たとえば、(A君→B君→C君)という順番と(B君→A君→C君)という順番は違うからね。

場合の数の問題では、「順列」と「組合せ」、「和の法則」と「積の法則」をそれぞれ区別することがとても大切です。同じように見える問題でも、「何が違うのかな?」と普段から考えるようにしましょう。

次の質問に答えましょう。(解答例は最後のページにあります)

① 順列と組合せの違いは何ですか。

② 和の法則を使う問題と積の法則を使う問題はどのように区別しますか。

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