【場合の数】同じものを含む順列の公式や計算方法をわかりやすく解説

問題演習コーナー

すべての場合を地道に書いて数えるのは大変です。そこでまず、3を除いた1、1、1、2、2の並べ方を考えます。

1、1、1、2、2の5つの数字は1が3つ、2が2つなので、前ページの【例題】と同じ並べ方になって10通りです。

次に、3をどこに入れるかを考えます。

たとえば、11122に3を入れる場合、△1△1△1△2△2△とすると、△のどこか1か所に3を入れればよいことがわかります（3を入れた△以外は無視します）。したがって、11122については、3を入れる場所まで考えると6通りです。

1、1、1、2、2の並べ方は11122も含めて10通りあり、それぞれについて3を入れる場所が6通りあります。したがって、10×6＝60（通り）が答です。

階乗を利用した解き方

6つの異なるものを一列に並べる並べ方は6!通りです。

3つの1を異なるものとしたとき、これらを一列に並べる並べ方は3!通りです。また、2つの2を異なるものとしたとき、これらを一列に並べる並べ方は2!通りです。

したがって、6!÷3!÷2!＝\(\frac{6!}{3!×2!}\)＝\(\frac{6×5×4×3×2×1}{3×2×1×2×1}\)＝60（通り）が答です。

Cの公式を利用した解き方

6個の数字を置く場所をABCDEFとします。

まずは3を置く場所を1か所決めます。ABCDEFの6か所から1か所を選ぶ選び方は₆C₁通りです。

次に2を置く場所を2か所決めます。ABCDEFのうち、3を置いた場所を除く5か所から2か所を選ぶ選び方は₅C₂通りです。

残った3か所にはすべて1を置くことになるので、選び方を考える必要はありません。

したがって、₆C₁×₅C₂＝\(\frac{6}{1}\)×\(\frac{5×4}{2×1}\)＝60（通り）が答です。

トップ画像＝写真AC