【場合の数】同じものを含む順列の公式や計算方法をわかりやすく解説

「場合の数（並べ方）」では、異なるものではなく、同じものを並べなければならないことがあります。このようなタイプの並べ方を「同じものを含む順列」といいます。

【例題】黒い碁石3個と白い碁石2個を一列に並べます。並べ方は何通りありますか。

【例題】を使って、同じものを含む順列の考え方を紹介します。

順列や組合せの考え方を利用する解き方では、階乗（!）や組合せの公式（C）を理解していることが前提です。これらを理解できていない場合は書いて数えましょう。

【場合の数】順列と組合せ、和の法則と積の法則を正しく使い分けよう

場合の数の基本となる「順列」と「組合せ」の区別、「和の法則」と「積の法則」の区別について解説します。「何が違うのかな？」と考えてみましょう。

すべて書いて数えよう
階乗を利用しよう
Cの公式を利用しよう
階乗やCの公式を利用しなくても解ける

すべて書いて数えよう

黒い碁石を●、白い碁石を○として、地道にすべて書いて数える方法があります。

白い碁石の方が数が少ないので、「白い碁石を左から右に動かしていく」という規則性に従って並べていきます。

○○●●●
○●○●●
○●●○●
○●●●○
●○○●●
●○●○●
●○●●○
●●○○●
●●○●○
●●●○○

このようにすべての場合を書けば、10通りが答だとわかります。

シイタケくん

「男子3人と女子2人が一列に並びます。並び方は何通りありますか」という問題も、【例題】と同じように考えていいんですか？

エリンギ先生

黒い碁石3個は普通一つ一つを区別しないから、同じものと考えるんだ。一方、男子3人は確かに性別が同じだけれど、一人一人は全く違う人だろう？だから、男子3人を同じものと考えることはできない。

エノキさん

「男子3人と女子2人が一列に並びます。並び方は何通りありますか」という問題は、5!＝5×4×3×2×1＝120（通り）になるのよ。人間が並ぶ場合、全員を異なるものと考えるのがポイントね！

階乗を利用しよう

異なるn個のものすべてを並べる順列はn!（nの階乗）で表されます。

【場合の数】樹形図や計算で順列を考える！Pや階乗の公式も簡単だよ

異なるものを並べる順列を、Pや階乗にも触れながら解説します。樹形図を描いて数え上げる方法と積の法則を使って計算する方法のどちらも大切です。

【例題】を階乗を利用して解く場合、すべてを異なるものとして並べた後、同じものの並べ方で割っていきます。

黒い碁石をそれぞれ黒1、黒2、黒3、白い碁石をそれぞれ白1、白2とします。

5つの異なるものを一列に並べる並べ方は5!＝5×4×3×2×1＝120（通り）です。

ところで、黒い碁石について黒1、黒2、黒3は同じものなので、（黒1、黒2、黒3、白、白）（黒1、黒3、黒2、白、白）（黒2、黒1、黒3、白、白）などはすべて同じ並べ方です。

黒1、黒2、黒3を一列に並べる並べ方は3!＝3×2×1＝6（通り）です。この6通りで120通りを割れば、黒い碁石については余計な並べ方を消すことができます。

同じように、白い碁石について白1、白2は同じもので、白1、白2を一列に並べる並べ方は2!＝2×1＝2（通り）です。この2通りで120通りを割れば、白い碁石については余計な並べ方を消すことができます。

したがって、120÷6÷2＝10（通り）が答です。

エリンギ先生

5!＝120や3!＝6などを先に計算するよりも、\(\frac{5!}{3!×2!}\)＝\(\frac{5×4×3×2×1}{3×2×1×2×1}\)と表して約分してから計算した方が楽だよ。

順列の考え方を使った解き方は次のようにまとめられます。

n個のもののうち、p個が同じもの、q個が同じものであるとき、n個のものを一列に並べる並べ方は、n!÷p!÷q!通りです。

さらに、r個も同じものならばn!÷p!÷q!÷r!通り、s個も同じものならばn!÷p!÷q!÷r!÷s!通り、……となります。

Cの公式を利用しよう

異なるn個のものからr個を取り出す組合せの数は_nC_rで求められます。

【場合の数】計算で組合せを求めよう！Cの公式はなぜ成り立つのか？

組合せの公式を解説します。意味もわからないままCを使っていると、入試本番で失敗します。そうならないように、公式を成り立ちから理解しましょう。

【例題】をCの公式を利用して解く場合、同じものをどこに置くかを決めていきます。

5個の碁石を置く場所を12345とします。

たとえば、白い碁石を1と2に置けば○○●●●、2と4に置けば●○●○●となります。

このように白い碁石を置く場所を2か所決めればよいので、12345の5か所から2か所を選ぶ選び方は₅C₂＝\(\frac{5×4}{2×1}\)＝10（通り）です。白い碁石を1と2に置く場合と2と1に置く場合は同じなので、順列ではなく組合せとして計算します。

残った3か所にはすべて黒い碁石を置くことになるので、選び方を考える必要はありません。

したがって、10通りが答です。

エリンギ先生

黒い碁石を置く場所を3か所決めてしまっても、₅C₃＝\(\frac{5×4×3}{3×2×1}\)＝10（通り）で同じ結果になるよ。ただ、同じもののうち、数の少ないものから置く場所を決めた方が計算は楽になるんだ。

組合せの考え方を使った解き方は次のようにまとめられます。

n個のもののうち、p個が同じもの、q個が同じものであるとき、n個のものを一列に並べる並べ方は、_nC_p通りです。ただし、n＝p＋qです。

さらに、r個も同じものならば_nC_p×_n－pC_q通り（n＝p＋q＋r）、s個も同じものならば_nC_p×_n－pC_q×_n－p－qC_r通り（n＝p＋q＋r＋s）、……となります。

階乗やCの公式を利用しなくても解ける

同じものを含む順列の問題は、階乗やCの公式を知っていると、計算で解くことができます。

ただし、中学受験では、階乗やCの公式を必ず覚えていなければならないわけではありません。これらは高校数学で教わるものだからです。

計算で解くのが苦手な中学受験生は、地道に書いて数えれば解けるので、絶対にあきらめてはいけません。

次の質問に答えましょう。（解答例は最後のページにあります）

① 同じものを含む順列の問題を階乗を利用して解く場合、どのように考えますか。

② 同じものを含む順列の問題をCの公式を利用して解く場合、どのように考えますか。