【場合の数】順列と組合せ、和の法則と積の法則を正しく使い分けよう

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【場合の数】順列と組合せ、和の法則と積の法則を正しく使い分けよう

サイコロの目の出方やリレー選手の選び方など、ある事柄の起こり方全てを数え上げるのが「場合の数」です。小学算数から大学受験数学まで、ほぼ同じ内容の問題が出題されます。

今回は、そんな場合の数の基本となる「順列」と「組合せ」の区別、「和の法則」と「積の法則」の区別について解説します。

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「順列」と「組合せ」

例題11、2、3、4の書かれた4枚のカードがあります。このとき、次の問いに答えましょう。

(1) 4枚の中から2枚を選んで2けたの整数を作るとき、何通りの整数ができますか。

(2) 4枚の中から同時に2枚を取り出すとき、何通りの取り出し方がありますか。

(1)と(2)の違いは何でしょうか?

結論を先にいうと、(1)はカードの並び順を考えますが、(2)は並び順を考えない、という違いがあります。そして、この違いに注目すると、場合の数の問題は「順列」と「組合せ」の2パターンに大きく分けられます。

順列とは、並び順を考える場合の数です。一方、組合せは、並び順を考えない場合の数です。 (1)は順列で (2)は組合せです。

それぞれの違いに気を付けながら、樹形図を描いてみましょう。樹形図とは、全ての場合を枝分かれで描いた図のことです。まずは(1)の樹形図です。

【場合の数】順列と組合せ、和の法則と積の法則を正しく使い分けよう

単純に全ての数字を使って樹形図を描きました。その結果、(1)の答は12通りだとわかります。

一方、(2)の樹形図は(1)と異なります。たとえば、(1)では12と21を区別しますが、(2)では12と21を同じものと考えます。組合せの問題では、同じものを最初から書かないようにするとまちがいを防げます。

【場合の数】順列と組合せ、和の法則と積の法則を正しく使い分けよう

「ある数字の後ろの枝に書くのは、その数字より大きい数字だけ」というルールを決めて樹形図を描きました。その結果、余計な枝が消えて、(2)の答が6通りだとわかりました。

数美
樹形図を数える場合、どこを見て数えればいいんですか?

みみずく
樹形図は枝分かれの一番右側を数えてね。たとえば、1――2という枝があったら、2の方だけ数えて1通りだ。たまに、1と2の両方を数えて「2通りです」と言う生徒がいるけれど、その数え方はまちがいだよ。

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