【場合の数】順列と組合せ、和の法則と積の法則を正しく使い分けよう

サイコロの目の出方やリレー選手の選び方など、ある事柄の起こり方全てを数え上げるのが「場合の数」です。小学算数から大学受験数学まで、ほぼ同じ内容の問題が出題されます。

今回は、そんな場合の数の基本となる「順列」と「組合せ」の区別、「和の法則」と「積の法則」の区別について解説します。

「順列」と「組合せ」を正しく使い分けよう

(1)と(2)の違いは何でしょうか？

(1)はカードの並び順を考えますが、(2)は並び順を考えない、という違いがあります。そして、この違いに注目すると、場合の数の問題は「順列」と「組合せ」の2パターンに大きく分けられます。

順列とは、並び順を考える場合の数です。一方、組合せは、並び順を考えない場合の数です。 (1)は順列で (2)は組合せです。

それぞれの違いに気を付けながら、樹形図を描いてみましょう。樹形図とは、全ての場合を枝分かれで描いた図のことです。

並び順を考える場合の数が「順列」

まずは(1)の樹形図です。

単純に全ての数字を使って樹形図を描きました。その結果、(1)の答は12通りだとわかります。

並び順を考えない場合の数が「組合せ」

(2)の樹形図は(1)とは違います。たとえば、(1)では12と21を区別しますが、(2)では12と21を同じものと考えます。組合せの問題では、同じものを最初から書かないようにするとまちがいを防げます。

「ある数字の後ろの枝に書くのは、その数字より大きい数字だけ」というルールを決めて樹形図を描きました。その結果、余計な枝が消えて、(2)の答が6通りだとわかりました。

エノキさん

樹形図を数える場合、どこを見て数えればいいんですか？

エリンギ先生

樹形図は枝分かれの一番右側を数えてね。たとえば、1――2という枝があったら、2の方だけ数えて1通りだ。たまに、1と2の両方を数えて「2通りです」と言う生徒がいるけれど、その数え方はまちがいだよ。

「和の法則」と「積の法則」を正しく使い分けよう

どちらかが起こる場合の数は「和の法則」

十の位がどの数字になるかで場合分けします。

① 十の位が1の場合、一の位は2、3、4の3通りです。

② 十の位が2の場合、一の位は1、3、4の3通りです。

③ 十の位が3の場合、一の位は1、2、4の3通りです。

④ 十の位が4の場合、一の位は1、2、3の3通りです。

したがって、①～④より3＋3＋3＋3＝12（通り）が答です。

①～④はどれかしか起こりません。たとえば、①と②がどちらも起こると考えると、十の位が1であり2でもある整数ができることになっておかしいとわかります。

このように、事柄AとBについて、（AかBのどちらかが起こる場合の数）＝（Aが起こる場合の数）＋（Bが起こる場合の数）が成り立ちます。これを和の法則といいます。

どちらも起こる場合の数は「積の法則」

十の位になる可能性のある数字と、一の位になる可能性のある数字をそれぞれ考えます。

① 十の位は1、2、3、4の4通りです。

② 一の位は十の位で使った数字以外の3通りです。

したがって、①と②より4×3＝12（通り）が答えです。

①と②の場合の数をかけたのは、十の位が1、2、3、4のそれぞれの場合で一の位は3通りずつあるからです。①と②はどちらも起こらないとそもそも2けたの整数を作れません。

このように、事柄AとBについて、（AとBのどちらも起こる場合の数）＝（Aが起こる場合の数）×（Bが起こる場合の数）が成り立ちます。これを積の法則といいます。

場合の数では区別を大切にしよう

たとえば、クラスの30人から2人の学級委員を選ぶ場合、その選び方は組合せです。2人の学級委員は同じ役割なので、（太郎君、花子さん）という選び方と（花子さん、太郎君）という選び方に区別がないからです。

一方、学級委員1人と図書委員1人の計2人を選ぶ場合、その選び方は順列です。（学級委員、図書委員）とすると、（太郎君、花子さん）という選び方と（花子さん、太郎君）という選び方を区別するからです。

シイタケくん

クラスの30人から3人のリレー選手を選ぶ場合、組合せでいいんですか？

エリンギ先生

3人のリレー選手を選ぶだけなら組合せだ。だけど、走る順番まで決めてしまうなら順列になるよ。たとえば、（A君→B君→C君）という順番と（B君→A君→C君）という順番は違うからね。

場合の数の問題では、「順列」と「組合せ」、「和の法則」と「積の法則」をそれぞれ区別することがとても大切です。同じように見える問題でも、「何が違うのかな？」と普段から考えるようにしましょう。