【場合の数】じゃんけんの手の出し方は何通り？勝敗やあいこを考える

問題演習コーナー

【問題】A、B、C、D、Eの5人でじゃんけんを1回します。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1) Aが勝つ手の出し方は何通りですか。

(2) あいこになる手の出し方は何通りですか。

勝者と敗者の手の出し方（勝者、敗者）は（グー、チョキ）（チョキ、パー）（パー、グー）の3通りです。

Aだけが勝つ場合とA以外に1～3人が勝つ場合をそれぞれ考えます。

① Aだけが勝つ場合は3通りです。

② A以外に1人が勝つ場合、A以外の1人をB、C、D、Eの4人から選ぶので4通りです。したがって、4×3＝12通りです。

③ A以外に2人が勝つ場合、A以外の2人をB、C、D、Eの4人から選ぶのでBC、BD、BE、CD、CE、DEの6通りです。したがって、6×3＝18通りです。

④ A以外に3人が勝つ場合、敗者1人をB、C、D、Eの4人から選ぶので4通りです。したがって、4×3＝12通りです。

①～④より、Aが勝つ手の出し方は3＋12＋18＋12＝45（通り）です。

グー・チョキ・パーのすべての手が出る場合を考えるのは大変なので、余事象を利用して「あいこになる手の出し方」＝「すべての手の出し方」－「勝負が決まる手の出し方」で求めます。

すべての手の出し方は、A、B、C、D、Eの5人がそれぞれグー・チョキ・パーの3通りの手を出せるので3×3×3×3×3＝243（通り）です。

勝負が決まる手の出し方を求めていきます。

① 1人が勝つ手の出し方は、（5人から1人を選ぶ組合せ）×（勝者と敗者の手の出し方）＝5×3＝15（通り）です。

② 2人が勝つ手の出し方は、（5人から2人を選ぶ組合せ）×（勝者と敗者の手の出し方）＝10×3＝30（通り）です。

エノキさん

5人から2人を選ぶ組合せは、AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DEの10通りよ。

シイタケくん

₅C₂＝\(\frac{5×4}{2×1}\)＝10（通り）でも求められるね！

③ 3人が勝つ手の出し方は、②の勝者と敗者が入れ替わるだけなので30通りです。

③ 4人が勝つ手の出し方は、①の勝者と敗者が入れ替わるだけなので15通りです。

「勝負が決まる手の出し方」＝「1人が勝つ手の出し方（(1)の答）」＋「2人が勝つ手の出し方（(2)の答）」＋「3人が勝つ手の出し方」＋「4人が勝つ手の出し方」なので、15＋30＋30＋15＝90（通り）です。

したがって、あいこになる手の出し方は243－90＝153（通り）です。

トップ画像＝イラストAC