【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる

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【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる
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問題演習コーナー

問題長さ8cmのテープを、のりしろを2cmとって下の図のようにつなげていきます。このとき、次の問いに答えましょう。

【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる

(1) テープを35枚つなげると、全体の長さは何cmになりますか。

(2) 全体の長さが350cmのとき、テープを何枚つなげましたか。

(1)の解答

有名なテープののりしろ問題です。実はこの問題も等差数列と考えることができます。

【等差数列】公式を導いてみよう!n番目の数も和も簡単に求められる

テープを1枚、2枚、3枚、…とつなげていくとき、全体の長さは8cm、14cm、20cm、…となります。8、14、20、…は、初めの数が8、加える数が6の等差数列です。

したがって、テープを35枚つなげると、全体の長さは8+6×(35-1)=212(cmです。

別解

植木算の考え方でも解けます。

のりしろをとらずにテープをつなげていくとすると、8×35=280(cm)の長さになります。

のりしろの数は、テープ1枚で0か所、テープ2枚で1か所、テープ3枚で2か所…なので、テープ35枚で34か所です。のりしろ34か所の長さは2×34=68(cm)です。

したがって、全体の長さは280-68=212(cmになります。

(2)の解答

テープを□枚つなげたとすると、全体の長さは8+6×(□-1)=350です。したがって、□=(350-8)÷6+1=58(枚)が答です。

別解

テープを□枚つなげたとすると、のりしろは(□-1)か所なので、8×□-6×(□-1)=350です。これは、次のように計算します。

8×□-2×(□-1)=350

8×□=350+2×(□-1)

8×□=350+2×□-2

8×□-2×□=350-2

6×□=348

□=348÷6=58(枚)

植木算の考え方を使うと、(2)は計算が大変です。

■チェック(解答例)■① 等差数列は、どのような数列ですか。

(例)一定の数を次々に加えていった数列です。

② 等差数列のn番目の数を考えるとき、どのようなことを考えますか。

(例)「初めの数に『加える数』をいくつ足しているのか?」を考えます。

③ 数列の問題を考えるときに大切なのはどのようなことですか。

(例)いくつかの数から規則性を探ることです。

④ 等差数列の和を求めるとき、どのようなことをするといいですか。

(例)数列を逆順に並べることです。

トップ画像=Pixabay

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