都立高校入試の令和5年度の過去問から、数学の大問4（平面図形）を解説します。
角の大きさを求める問題
[問1]は∠ADPの大きさを求める問題です。
まずは、特殊な図形に着目して、角の大きさを求めていきます。
AD//BC、AQ//DCで、2組の対辺がそれぞれ平行なので、四角形AQCDは平行四辺形です。平行四辺形の対辺は等しいので、∠ADC＝∠AQC＝110°です。また、四角形ABCDはAB＝ACの等脚台形なので、∠DAB＝∠ADC＝110°です。
次に、△APDの内角の和は180°なので、∠ADP＝180－∠APD－∠DAP（∠DAB）＝180－a－110＝70－a（°）となり、ウが答えです。
三角形の相似を証明する問題
[問2]①は△ASDと△CSQが相似であることを証明する問題です。
AD//BCが仮定なので、平行線の錯角を使えばあっという間です。
△ASDと△CSQにおいて、
対頂角は等しいから、∠ASD＝∠CSQ … (1)
AD//BCより、平行線の錯角は等しいから、∠ADS＝∠CQS … (2)
(1)、(2)より、2組の角がそれぞれ等しいから、△ASD∽△CSQ
模範解答の(1)を、平行線の錯角の∠SAD＝∠SCQにしても正解です。
相似比と底辺比を利用して面積比を求める問題
[問2]②は面積比を求める問題です。
AC//PQで平行線の同位角が等しいので、∠DRS＝∠DPQ、∠DSR＝∠DQPより、2組の角がそれぞれ等しいので△DRS∽△DPQです。[問2]①より△ASD∽△CSQで相似比はDS：QS＝AD：CQ＝2：3なので、DS：DQ＝2：5です。したがって、RS：PQ＝DS：DQ＝2：5とわかりました。
仮定よりAC//PQなので、平行線の同位角が等しいから∠BAC＝∠BPQ、∠BCA＝∠BQPとなり、2組の角がそれぞれ等しいので△BAC∽△BPQです。AP：PB＝3：1より、BA：BP＝BC：BQ＝AC：PQ＝4：1です。
RS：PQ＝2：5とAC：PQ＝4：1でPQの比をそろえてRS：PQ：AC＝2：5：20なので、RS：AC＝2：20＝1：10とわかりました。
また、△ACDと△ABCは高さが等しいので、△ACDと△ABCの面積比は上底と下底の比に等しく、△ACD：△ABC＝AD：BC＝2：4＝1：2です。したがって、△ACD＝\(\frac{1}{3}\)台形ABCDとわかりました。
△DRSと△ACDは高さが等しいので、△DRS＝\(\frac{1}{10}\)△ACD＝\(\frac{1}{10}\)×\(\frac{1}{3}\)台形ABCD＝\(\frac{1}{30}\)台形ABCDより、\(\underline{\frac{1}{30}}\)倍が答えです。
【別解】辺を延長する解き方
△DRSを含む△ASDを考えます。[問2]①より△ASD∽△CSQより、相似比はAS：CS＝AD：CQ＝2：3です。したがって、△ASD＝\(\frac{2}{5}\)△ACDです。
△ACDと△ABCは高さが等しいので、△ACDと△ABCの面積比は上底と下底の比に等しく、△ACD：△ABC＝AD：BCです。
仮定よりAC//PQなので、平行線の同位角が等しいから∠BAC＝∠BPQ、∠BCA＝∠BQPとなり、2組の角がそれぞれ等しいので△BAC∽△BPQです。AP：PB＝CQ：QB＝3：1からBCの比＝BQの比＋QCの比＝1＋3＝4となり、△ACD：△ABC＝AD：BC＝2：4＝1：2です。したがって、△ACD＝\(\frac{1}{3}\)台形ABCDなので、△ASD＝\(\frac{2}{5}\)△ACD＝\(\frac{2}{5}\)×\(\frac{1}{3}\)台形ABCD＝\(\frac{2}{15}\)台形ABCDとわかりました。
続いて、△DRSが△ASDの何倍かを求めるためAR：RSを考えます。
AR：RCを求めればよさそうですが、△ADRと相似な三角形がないので、RPとQBを延長してその交点をTとします。そうすると、△ADRと相似な△CTRができます。
△ADRと△CTRの相似比を求めるには、TBの比が必要です。そこでTBを含む△TBPに着目します。平行線の錯角が等しいから∠TBP＝∠DAP、∠BTP＝∠ADPとなり、2組の角がそれぞれ等しいので△TBP∽△DAPです。相似比はTB：DA＝BP：AP＝1：3より、DAの比が2ならばTBの比＝\(\frac{1}{3}\)×2＝\(\frac{2}{3}\)です。
△ADRと△CTRの相似比はAD：CT＝2：（\(\frac{2}{3}\)＋4）＝2：\(\frac{14}{3}\)＝3：7＝AR：CRとわかりました。
AR：CR＝3：7とAS：CS＝2：3について、全体の比を10にそろえるとAR：RS＝3：1なので、△DRS＝\(\frac{1}{4}\)△ASD＝\(\frac{1}{4}\)×\(\frac{2}{15}\)台形ABCD＝\(\frac{1}{30}\)台形ABCDより、\(\underline{\frac{1}{30}}\)倍が答えです。
証明問題は前年に比べて簡単になった
令和5年度の大問4は、[問2]①の証明問題が令和4年度に比べて非常に簡単でした。令和4年度の[問2]①は正答率が60％を下回ったため、さらに易しくしたのでしょう。
こうした難易度の調整があるため、都立高校受験生は、過去10年の都立高校入試問題を徹底分析して分野別にまとめた問題集「高校入試 虎の巻」で前年までの大問4を確認しておくとよいでしょう。
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