問題演習コーナー
【問題】太郎君は、荷物を部屋から物置まで運びます。このとき、太郎君が1回で運ぶことのできる荷物は1個か2個です。たとえば、3個の荷物を運ぶ場合、次の3通りあります。
- 1回に1個ずつ、3回運ぶ。
- 1回目に1個、2回目に2個運ぶ。
- 1回目に2個、2回目に1個運ぶ。
全部で7個の荷物を運ぶ場合について、次の問いに答えなさい。
(1) もっとも少ない回数で運び終えたとすると、運び方は何通りありますか。
(2) (1)もふくめて、運び方は全部で何通りありますか。
【問題】では荷物を運びますが、階段上りの問題と同じ考え方をします。
(1)の解答
「もっとも少ない回数で運び終えた」とあるので、「1回で2個運ぶことがもっとも多い」と考えます。そこで、回数と荷物の個数だけに注目すると、次のようになります。
1個が1回目から4回目のどこかに来ればいいので4通りが答えです。
(2)の解答
(1)で求めた組合せの「2個」を「1個、1個」に交換していきます。
ア （2個、2個、2個、1個）…4回
イ （2個、2個、1個、1個、1個）…5回
ウ （2個、1個、1個、1個、1個、1個）…6回
エ （１個、1個、1個、1個、1個、1個、1個）…7回
次に、アからエのそれぞれが何通りかを考えます。
- アは(1)から4通りです。
- イは、5回のうちから2回を2個にすればいいので、5C2＝10通りです。
- ウは、(1)と同じように考えて、2個が1回目から6歩目のどこかに来ればいいので6通りです。
- エは見るからに1通りしかありません。
したがって、アからエまでを足して4＋10＋6＋1＝21（通り）が答えです。
イの5C2＝10がわかりません。
組合せの公式については、以下の記事を読んで復習しておこう。ただ、公式がわからない場合は、地道にすべての場合を書き上げるといいよ。
イで地道にすべての場合を書き上げるなら、次のようになります。
（1回目、2回目、3回目、4回目、5回目）とすると、
（2個、2個、1個、1個、1個）
（2個、1個、2個、1個、1個）
（2個、1個、1個、2個、1個）
（2個、1個、1個、1個、2個）
（1個、2個、2個、1個、1個）
（1個、2個、1個、2個、1個）
（1個、2個、1個、1個、2個）
（1個、1個、2個、2個、1個）
（1個、1個、2個、1個、2個）
（1個、1個、1個、2個、2個）
したがって、10通りです。
この書き上げ作業では、「2個」の位置を次のように決めていきました。
このように、規則的に「2個」の位置を決めていくと、数え間違いを防げます。
(2)の別解（フィボナッチ数列を利用する）
(2)は、フィボナッチ数列を利用すると、1、2、3、5、8、13、21なので21通りが答えです。
トップ画像＝写真AC
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