ある量が増えながら減っていくタイプの問題を「ニュートン算」といいます。
ニュートン算の中から、牛が牧草を食べつくす日数を求める有名問題を解説します。
3つの草の量を考えよう
【例題】では、草の量を考える必要があります。
最後の文に「草は毎日一定量生え、どの牛も1日に一定量の草を食べるとします」とあります。そのため、1日で生える草の量と、牛1頭が1日で食べる草の量を考えるべきなのはわかるでしょう。
他にももう一つ、考えなければならない草の量があります。それは、もともと生えていた草の量です。
これら3つの草の量が全てわかっていません。そこで、まずは牛1頭が1日に食べる草の量を1にしてしまうのがコツです。
牛1頭が1日に食べる草の量は1じゃないとダメなんですか？
1でなくても、2でも3でも15でも678でも、何でも構わない。どんな数字にしても、最終的には同じ答になるよ。
同じ答になるなら、1にした方が簡単ですね。
線分図で解いてみよう
線分図を使った解き方が有名です。
1頭の牛が1日に食べる草の量を1、1日で生える草の量を①とします。
もともと生えていた草の量を左端によせて、「ある牧場で、6頭の牛を放すと9日間で草を食べつくします。また、8頭の牛を放すと6日間で食べつくします。」を線分図で表します。
線分図の差（赤い線）に注目します。
③＝6なので、①＝6÷3＝2です。したがって、もともと生えていた草の量は54－⑨＝54－2×9＝36とわかりました。
「この牧場に11頭の牛を放すと、何日間で草を食べつくしますか。」で、□日間で草を食べつくすとすると、2×□＋36＝1×11×□と表せます。11×□－2×□＝36より、□＝36÷（11－2）＝4日間が答です。
消去算で解いてみよう
計算が得意ならば、消去算で解いてしまうのもよいでしょう。
牛1頭が1日に食べる草の量を1、1日で生える草の量を□、もともと生えていた草の量を△とします。
「生える草の量＋もともと生えていた草の量＝牛が食べる草の量」なので、□と△で式を作って、消去算で解きます。
「6頭の牛を放すと9日間で草を食べつくします」から、□×9＋△＝1×6×9 …（ア）です。
「8頭の牛を放すと6日間で食べつくします」から、□×6＋△＝1×8×6 …（イ）です。
（ア）ー（イ）より□×9－□×6＝54－48となり、□＝6÷（9－6）＝2です。これを（ア）に代入して、2×9＋△＝54となり、△＝54－18＝36です。
牛1頭が1日に食べる草の量を1とするとき、1日で生える草の量が2、もともと生えていた草の量が36とわかりました。
11頭の牛が◇日間で草を食べ尽くすとすると、2×◇＋36＝1×11×◇となります。11×◇ー2×◇＝36より、◇＝36÷（11－2）＝4なので、4日間が答です。
グラフ（ダイヤグラム）で解いてみよう
グラフ（ダイヤグラム）を使っても解けます。
たとえば「6頭の牛を放すと9日間で草を食べつくします」をグラフで表すと次の通りです。
0を通る直線が、6頭の牛が食べる草の量です。この直線と、生える草の量を表す直線が交わった点に、6頭の牛が食べつくした草の量と日数を書きこみました。
牛が食べる草の量を表すグラフを省略しましたが、8頭の牛が食べつくした草の量と日数も書きこんだのが下の図です。黄色い三角形に注目して、1日で生える草の量は6÷3＝2です。
下の図の黄色い三角形に注目して、6日で生える草の量は2×6＝12です。したがって、もともと生えていた草の量は48ー12＝36とわかります。
11頭の牛が□日間で草を食べつくすとすると、2×□＋36＝1×11×□と表せます。11×□－2×□＝36より、□＝36÷（11－2）＝4日間が答です。
お気に入りの解き方を見つけよう
牛が牧草を食べつくす日数を求める問題には、いろいろな解き方があります。
今回は線分図と消去算とグラフ（ダイヤグラム）を紹介しました。他にも解き方がありますので、自分で探してみるのも楽しいでしょう。
お気に入りの解き方を見つけて、ニュートン算を得意にしてください。
次の質問に答えましょう。（解答例は最後のページにあります）
① 牛が牧草を食べつくす日数を求める問題では、何の量を考えますか。
② 牛1頭が1日に食べる草の量をどうしますか。
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