都立高校入試数学の空間図形問題が易化?来年度は難しくなるかも?

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みみずく先生のプロ家庭教師&ライター奮闘記

都立高校入試共通問題の数学は、大問5が例年空間図形です。そして、大問5の最後の問題は、空間図形を分析することに加えて、複数の知識を組み合わせたり、複雑な計算を要求されたりするため、とても難しい……はずでした。数年前までは。

平成29年度、平成30年度と、大問5は易化しています。特に平成30年度は、「数学の最後の問題がこんなに簡単で本当にいいの?」というレベルでした。

今回は、“簡単すぎてお話にならない”平成30年度の大問5を解説します。

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図形が正三角形だと気づければ瞬殺できる問題

[問1]は、例年、図形の性質に気づけば簡単に解ける問題になっています。平成30年度は、その中でも一二を争うくらいの簡単さでした。

都立高校入試数学の空間図形問題が易化?来年度は難しくなるかも?

PがCに一致しているので、∠BPDは下図の左のようになります。ついでにBとDも結んで△BPDを作ると、△BPDが正三角形になることに気づけるかどうかがポイントです(下図の右)。

都立高校入試数学の空間図形問題が易化?来年度は難しくなるかも?

見取り図だと分かりづらいですが、立体ABC-DEFの面ABEDと面ACFDは、一辺が9cmの正方形です。その対角線なのでBD=CDです。

また、△ABCも、一辺が9cmの正方形を対角線BCに沿って二等分した直角二等辺三角形です。

したがって、BD=CD=BCなので、△BPDが正三角形だと分かります。このことに気づけば、一切計算することなく、∠BPD=60°を求められます。

立体を平面図形に置きかえれば簡単に解ける問題

[問2]も、難しい発想は特に必要なく、ちょっとしたことに気づけば簡単です。

都立高校入試数学の空間図形問題が易化?来年度は難しくなるかも?

立体P-ABDの体積は、素直に△ABDを底面として考えます。高さは、Pから面ABEDに下した垂線PHです。Hの位置は下図のようになります。

都立高校入試数学の空間図形問題が易化?来年度は難しくなるかも?

補助線PHを引いたところで、まずは底面を抜き出してみましょう。

都立高校入試数学の空間図形問題が易化?来年度は難しくなるかも?

△ABDは、底辺9cm、高さ9cmの直角二等辺三角形なので、面積を表す式は9×9÷2です。

次に、PH⊥面ABED、∠BAC=90°から、PHとACが平行であることに気づけるでしょうか?

PHとACが平行だと分かれば、立体を立体のまま考える必要はなくなります。立体ABC-DEFを上から眺めて、下図のように、△ABC上にM、P、Hを全て書き込んでしまいます。

都立高校入試数学の空間図形問題が易化?来年度は難しくなるかも?

EFとBCは平行で長さが等しいので、Mを真上にあるBCの中点に移動してしまいます。

Pは、CMをCP:PM=2:1に分けます。このPも真上に移動すると、CP:PM=2:1となる点と重なります。

BC上の比を考えると、BM=CM=CP+PMなので、BM:MP:PC=3:1:2です。これより、BC:BC=6:4=3:2となります。平行線と比の関係から、BA:BH=BC:BC=3:2です。

また、平行線の同位角が等しいので∠BAC=∠BHP、∠BCA=∠BPHとなり、2組の角がそれぞれ等しいことから、△BAC∽△BHPです。したがって、AC:HC=BA:BH=3:2で、AC=9cmを2/3倍してBH=6cmです。

立体P-ABDの底面積と高さが分かったので、錐体の体積公式(底面積×高さ÷3)に当てはめて、立体P-ABDの体積は9×9÷2×6÷3=81(cm3です。

来年度の入試では大問5が難しくなるかもしれない

[問2]を言葉で説明すると長くなりますが、発想自体はとても単純で、難しい要素が何もない問題でした。どうしてこんなに簡単な問題になったのでしょうか?

平成29年度の大問5[問2]の正答率があまりにも低かったため、易化の方向に調整したのでしょう。(平成29年度の大問5[問2]の問題と正答率を知りたい人は、「【都立高校入試過去問解説】高さがわからない三角錐の体積を求めよう」を参照してください)

今回の易化の結果、大問5[問2]の正答率は14.6%に急上昇しました。これを受けて、来年度の入試も調整される可能性があります。調整の方向としては難化(というよりも、例年並みの難易度に戻す)が予想されます。

数学が苦手な受験生にとって、大問5[問2]は捨て問です。一方、数学を得点源にしたい受験生は、「大問5[問2]が難しくなるかもしれない」を頭に入れた上で、どのような勉強が必要かを考えるといいでしょう。

トップ画像=Pixabay

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