【場合の数】“立体×動点×サイコロ”の応用問題にチャレンジしよう

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【場合の数】“立体×動点×サイコロ”の応用問題にチャレンジしよう

場合の数では、図形との融合問題が出題されることがあります。そんな問題の中でも、中学受験生が「難しい」と感じる応用問題にチャレンジしてみましょう。

底面が角BAC=90°の直角三角形で、側面が全て長方形である下図のような三角柱があります。

【場合の数】“立体×動点×サイコロ”の応用問題にチャレンジしよう

点P、Qは、次の【ルール】に従って動く点です。

【ルール】

・大小2つのサイコロを同時に1回だけ投げる。

・大きなサイコロの出た目を□とすると、点Pは辺AC上をA→C→Aの順に□cmだけ動く。

・小さなサイコロの出た目を△とすると、点QはAB、BE上をA→B→Eの順に△cmだけ動く。

このとき、次の問いに答えましょう。

(1) A、D、P、Qを結んでも三角錐ができないサイコロの目の出方は全部で何通りですか。

(2) A、D、P、Qを結んでできる三角錐の体積が、図の三角柱の体積の1/3倍となるサイコロの目の出方は全部で何通りですか。

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三角錐ができないサイコロの目の出方

(1)から解いていきましょう。

大きなサイコロの出た目が2、小さなサイコロの出た目が1のとき、【ルール】に従って点P、Qを取ると、下図のような三角錐Q-ADPができます。(角BAC=90°とあるので、三角形ADPを底面、QからADに下した垂線を高さとしました)

【場合の数】“立体×動点×サイコロ”の応用問題にチャレンジしよう

この図からも分かる通り、三角錐ができるためには4点が必要です。PがAに重なってしまう場合、下図のように3点しかないため、これらの点を結んでも三角錐にはなりません。

【場合の数】“立体×動点×サイコロ”の応用問題にチャレンジしよう

PがAに重なるのは、大きなサイコロの出た目(□)が6のときです。一方、小さなサイコロの出た目(△)は1~6のどれでも構いません。したがって、A、D、P、Qを結んでも三角錐ができないサイコロの目の出方は(□、△)=(6、1)(6、2)(6、3)(6、4)(6、5)(6、6)の6通りです。

三角柱の体積の1/3倍となるサイコロの目の出方

(2)は場合分けが必要な問題です。

サイコロの目の出方を考える前に、三角柱の体積を求めましょう。柱体の体積は「底面積×高さ」で求められるので、図の三角柱の体積は3×2÷2×4=12(cm2)です。

A、D、P、Qを結んでできる三角錐について、三角形ADPを底面、QからADに下した垂線を高さとすると、高さ(青い線)の取り方は下図の通り2パターンが考えられます。

【場合の数】“立体×動点×サイコロ”の応用問題にチャレンジしよう

APの長さをxcm、高さをycmとして、錐体の体積公式「底面積×高さ÷3」から三角錐Q-ADPの体積を求めます。

三角錐Q-ADPの体積=x×4÷2×y÷3=x×y×2÷3

これが三角柱の体積の1/3倍である4に等しいので、

x×y×2÷3=4

x×y=6

x=1、2、3のいずれかで、y=1、2のいずれかです(上図の左がy=1、右がy=2)。yが2パターンしかないので、yで場合分けしてみます。

y=1のとき、x=6にならなければならないので、この場合は存在しません。

y=2のとき、x=3になります。y=2となるとき、小さなサイコロの出た目(△)は2、3、4、5、6のいずれかです。一方、x=3のなるとき、大きなサイコロの出た目(□)は3しかありません。

したがって、求めるサイコロの目の出方は(□、△)=(3、2)(3、3)(3、4)(3、5)(3、6)の5通りです。

頭を使って確実に正解できる方法を考えよう

立体と動点、場合の数が組み合わさった問題なので、一見すると難しく感じられます。しかし、「『三角錐ができない』というのはどういうこと?」「三角柱の体積を式で表すとどうなるの?」と考えると、解法の糸口が見つかります。

サイコロが2つの場合、全ての場合を検討しても36通りしかありません。とはいえ、今回のような問題では計算が面倒なので、地道に全ての場合を検討する方法はやめた方がいいでしょう。頭を使って確実に正解できる方法を考えることが大切です。

トップ画像=Pixabay

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