【場合の数】樹形図や計算で順列を考える!Pや階乗の公式も簡単だよ

【順列】異なるものを並べる場合の数は樹形図や積の法則で求めよう 場合の数

問題演習コーナー

【問題】男子4人、女子3人の中から3人のリレー選手を選びます。走る順番まで決めるとして、次の問いに答えましょう。

(1) 男女7人から選ぶとき、選び方は何通りありますか。

(2) 男子から2人、女子から1人を選ぶとき、選び方は何通りありますか。

(3) 女子が少なくとも1人入っている選び方は何通りありますか。

7人もいるので樹形図を描くと大変です。計算で答を求めましょう。

ちなみに、人間を選ぶ場合、一人一人を異なるものと考えます。一方、「赤玉4つ、白玉3つとの中から3つを選ぶ」という場合、4つの赤玉と3つの白玉をそれぞれ同じものと考えます。人間と物とでは扱い方が違うので要注意です。

(1)の解答(男女7人から3人を選ぶ)

7人から3人を選んで並べるので、7×6×5=210(通り)が答です。

(2)の解答(男子から2人、女子から1人を選ぶ)

男子の選び方は、男子4人から2人を選んで並べるので4×3=12(通り)です。

女子の選び方は、3人から1人を選ぶので3通りです。

男子を●、女子を○とすると、男子と女子の走る順番は●●○、●○●、○●●の3通りです。

積の法則より12×3×3=108(通り)が答です。

シイタケくん
シイタケくん

男子と女子の走る順番を考えるのがポイントだね!

(3)の解答(女子が少なくとも1人入るように選ぶ)

① 女子から3人を選ぶとき、女子3人を並べるので3×2×1=6(通り)です。

② 男子から1人、女子から2人を選ぶときを考えます。

男子の選び方は、4人から1人を選ぶので4通りです。

女子の選び方は、3人から2人を選んで並べるので3×2=6(通り)です。

男子を●、女子を○とすると、男子と女子の走る順番は●○○、○●○、○○●の3通りです。

積の法則より4×6×3=72(通り)です。

③ 男子から2人、女子から1人を選ぶとき、(2)より108通りです。

①~③は同時に起こらないので、和の法則より6+72+108=186(通り)が答です。

別解(余事象を利用した解き方)

「女子が1人も入っていない選び方」は、「女子が少なくとも1人入っている選び方」の余事象といいます。この余事象を使うと、「女子が少なくとも1人入っている選び方」=「すべての選び方」-「女子が1人も入っていない選び方」で求められます。

【順列】Pの公式も階乗も難しくない!樹形図や積の法則から考えよう

女子が1人も入っていないとき、男子4人から3人を選んで並べるので4×3×2=24(通り)です。

したがって、女子が少なくとも1人入っている選び方は210-24=186(通り)です。

① 樹形図を描くとき、どのようなことを意識するとよいですか。

(例)自分なりにルールを決めて規則的に描くことと、縦や横に数字などをそろえることです。

② 積の法則では、どのようなことが成り立ちますか。

(例)事柄AとBについて、(AとBのどちらも起こる場合の数)=(Aが起こる場合の数)×(Bが起こる場合の数)が成り立ちます。

トップ画像=Pixabay

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